3.1.
Динамический режим САУ.
Уравнение динамики
Установившийся режим не является характерным для САУ. Обычно на управляемый процесс действуют различные возмущения, отклоняющие управляемый параметр от заданной величины. Процесс установления требуемого значения управляемой величины называется регулированием . Ввиду инерционности звеньев регулирование не может осуществляться мгновенно.
Рассмотрим САР, находящуюся в установившемся режиме, характеризующемся значением выходной величины y = y o . Пусть в момент t = 0 на объект воздействовал какой - либо возмущающий фактор, отклонив значение регулируемой величины. Через некоторое время регулятор вернет САР к первоначальному состоянию (с учетом статической точности) (рис.24). Если регулируемая величина изменяется во времени по апериодическому закону, то процесс регулирования называется апериодическим .
При резких возмущениях возможен колебательный затухающий процесс (рис.25а). Существует и такая вероятность, что после некоторого времени Т р в системе установятся незатухающие колебания регулируемой величины - незатухающий колебательный процесс (рис.25б). Последний вид - расходящийся колебательный процесс (рис.25в).
Таким образом, основным режимом работы САУ считается динамический режим , характеризующийся протеканием в ней переходных процессов . Поэтому второй основной задачей при разработке САУ является анализ динамических режимов работы САУ .
Поведение САУ или любого ее звена в динамических режимах описывается уравнением динамики y(t) = F(u,f,t) , описывающее изменение величин во времени. Как правило, это дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений. Поэтому основным методом исследования САУ в динамических режимах является метод решения дифференциальных уравнений . Порядок дифференциальных уравнений может быть довольно высоким, то есть зависимостью связаны как сами входные и выходные величины u(t), f(t), y(t) , так и скорости их изменения, ускорения и т.д. Поэтому уравнение динамики в общем виде можно записать так:
F(y, y’, y”,..., y (n) , u, u’, u”,..., u (m) , f, f ’, f ”,..., f (k) ) = 0 .
3.2. Линеаризация уравнения динамики
В общем случае уравнение динамики оказывается нелинейным, так как реальные звенья САУ обычно нелинейны. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики . Рассмотрим сначала геометрическое обоснование линеаризации.
В нормально функционирующей САУ
значение регулируемой и всех промежуточных величин незначительно отличается
от требуемых. В пределах малых отклонений все нелинейные зависимости между величинами,
входящими уравнение динамики, могут быть приближенно представлены отрезками
прямых линий. Например, нелинейная статическая характеристика звена на участке
АВ (рис.26) может быть представлена отрезком касательной в точке номинального
режима А"В". Начало координат переносится в точку О’, и в уравнениях
записываются не абсолютные значения величин y,u,f
, а их отклонения от
номинальных значений: y
= y - y н
, u
= u - u н
, f
= f - f н
. Это позволяет получить нулевые
начальные условия
, если считать, что при t
0
система находилась в номинальном режиме в состоянии покоя.
Математическое обоснование линеаризации состоит в том, что если известно значение f(a) какой - либо функции f(x) в любой точке x = a , а также значения производных от этой функции в данной точке f’(a), f”(a), ..., f (n) (a) , то в любой другой достаточно близкой точке x + x значение функции можно определить, разложив ее в окрестности точки a в ряд Тейлора:
Аналогично можно разложить и функцию нескольких переменных. Для простоты возьмем упрощенный, но наиболее характерный вариант уравнения динамики САУ: F(y,y",y",u,u") = f. Здесь производные по времени u",y",y" также являются переменными. В точке, близкой к номинальному режиму: f = f н + f и F = F н + F . Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности точки номинального режима, отбрасывая члены ряда высоких порядков малости:
В номинальном режиме, когда все отклонения и их производные по времени равны нулю, получаем частное решение уравнения: F н = f н . Учитывая это и вводя обозначения получим:
a o y” + a 1 y’ + a 2 y = b o u’ + b 1 u + c o f .
Отбрасывая все знаки , получим:
a o y” + a 1 y’ + a 2 y = b o u’ + b 1 u + c o f .
Отбрасывая все знаки , получим:
В более общем случае:
a o y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n - 1 y’ + a n y = b o u (m) + ... + b m - 1u’ + b m u + c o f.
При этом всегда нужно помнить, что в данном уравнении используются не абсолютные значения величин y, u, f их производных по времени, а отклонения этих величин от номинальных значений. Поэтому полученное уравнение будем называть уравнением в отклонениях .
К линеаризованной САУ можно применить принцип суперпозиции : реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет звено с двумя входами u и f разложить на два звена, каждое из которых имеет один вход и один выход (рис.27). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением поведения систем и звеньев с одним входом, уравнение динамики которых имеет вид:
a o y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n - 1 y’ + a n y = b o u (m) + ... + b m - 1u’ + b m u.
Это уравнение описывает САУ в динамическом
режиме лишь приближенно с той точностью, которую дает линеаризация. Однако следует
помнить, что линеаризация возможна только при достаточно малых отклонениях величин
и при отсутствии разрывов в функции F
в окрестностях интересующей нас
точки, которые могут быть созданы различными выключателями, реле и т.п.
Обычно n m , так как при n < m САУ технически нереализуемы.
3.3. Передаточная функция
В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора p = d/dt так, что, dy/dt = py , а p n = d n /dt n . Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p . В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:
a o p (n) y + a 1 p (n-1) y + ... + a n y = (a o p (n) + a 1 p (n-1) + ... + a n )y = (b o p (m) + b 1 p (m-1) + ... + bm )u
Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t) (оригиналы ), а не их изображения Y(p), U(p) , получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так оператор p можно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то есть pyyp . Его можно выносить за скобки и т.п.
Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:
Дифференциальный оператор W(p) называют передаточной функцией . Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени: W(p) = y(t)/u(t) , поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления . В установившемся режиме d/dt = 0 , то есть p = 0 , поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = b m /a n .
Знаменатель передаточной функции D(p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n называют характеристическим полиномом . Его корни, то есть значения p, при которых знаменатель D(p) обращается в ноль, а W(p) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции .
Числитель K(p) = b o p m + b 1 p m - 1 + ... + b m называют операторным коэффициентом передачи . Его корни, при которых K(p) = 0 и W(p) = 0 , называются нулями передаточной функции .
Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном . Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функция W и (p) = 1/p . Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называется структурной .
3.4. Элементарные динамические звенья
Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями . Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:
W э (p) =
.
Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета можно записать
D(p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n = a o (p - p 1 )(p - p 2 )...(p - p n ),
где p 1 , p2 , ..., p n - корни полинома D(p) . Аналогично
K(p) = b o pm + b 1 p m - 1 + ... + bm = b o (p - p ~ 1 )(p - p ~ 2 )...(p - p ~ m ), i 2 ).
Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.
В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев
,
передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице,
то есть W(p) =
, W(p) =
, W(p) = 1/p
, W(p)
= p
, W(p) = Tp + 1
, W(p) = k
. Из них могут быть образованы все
остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка
полинома знаменателя, технически нереализуемы.
Вопросы
- Какой режим САУ называется динамическим?
- Что называется регулированием?
- Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ?
- Что называется уравнением динамики? Каков его вид?
- Как провести теоретическое исследование динамики САУ?
- Что называется линеаризацией?
- В чем геометрический смысл линеаризации?
- В чем состоит математическое обоснование линеаризации?
- Почему уравнение динамики САУ называется уравнением в отклонениях?
- Справедлив ли для уравнения динамики САУ принцип суперпозиции? Почему?
- Как звено с двумя и более входами представить схемой, состоящей из звеньев с одним входом?
- Запишите линеаризованное уравнение динамики в обычной и в операторной формах?
- В чем смысл и какими свойствами обладает дифференциальный оператор p?
- Что называется передаточной функцией звена?
- Запишите линеаризованное уравнение динамики с использованием передаточной функции. Справедлива ли эта запись при ненулевых начальных условиях? Почему?
- Напишите выражение для передаточной функции звена по известному линеаризованному уравнению динамики: (0.1p + 1)py(t) = 100u(t).
- Что называется динамическим коэффициентом усиления звена?
- Что называется характеристическим полиномом звена?
- Что называется нулями и полюсами передаточной функции?
- Что называется динамическим звеном?
- Что называется структурной схемой САУ?
- Что называется элементарными и типовыми динамическими звеньями?
- Как сложную передаточную функцию разложить на передаточные функции типовых звеньев?
ЛЕКЦИЯ 3.
Частотные характеристики.
Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. Рассмотрим такой режим.
Пусть на вход звена (рис.2.6,а) подано гармоническое воздействие
где x max – амплитуда, а ω – угловая частота этого воздействия.
По окончании переходного процесса на выходе звена будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе. Т.е. в установившемся режиме выходная величина звена
,
где y max – амплитуда выходных установившихся колебаний.
При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Если постепенно увеличивать от нуля частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд A = y max / x max и сдвига фаз φ выходных и входных установившихся колебаний.
Эти зависимости называются соответственно А(ω) – амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и φ(ω) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Примерный вид этих характеристик у обычных инерционных звеньев изображен на рис.3.1,а и б. Как показано на этих рисунках, у таких звеньев в силу их инерционности амплитудная частотная характеристика по мере увеличения частоты в конце концов спадает до нуля. При этом, чем менее инерционно звено, тем длиннее его амплитудная частотная характеристика, т.е. тем больше полоса пропускаемых звеном частот, или, просто, его полоса пропускания.
Теоретически частотная характеристика продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отношение амплитуд А = 0,707, и при дальнейшем повышении частоты не изменяется (считается, что в диапазоне от –ω П до +ω П элемент системы управления пропускает гармонический сигнал без заметного ослабления). Полоса пропускания Δω П = 2ω П. Наличие максимума у АЧХ говорит о резонансных свойствах звена. Частота, соответствующая максимуму амплитудной характеристики, называется резонансной (ω р). Частота, на которой коэффициент усиления входного сигнала равен единице, называется частотой среза ω с.
Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые элементом системы управления на различных частотах. У обычных инерционных звеньев, как показано на рис.3.1,б, при положительных ω ФЧХ всегда отрицательна (φ < 0), т.е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой.
Обыкновенные амплитудная и фазовая частотные характеристики можно объединить в одну характеристику – амплитудно – фазовую частотную характеристику (АФЧХ), используя А(ω) и φ(ω) в качестве полярных координат (рис.3.2). Строится она на комплексной плоскости. Каждая точка АФЧХ соответствует определенному значению частоты ω. Совокупность всех точек при изменении частоты от нуля до бесконечности представляет собой непрерывную линию (которая называется годографом), соответствующую частотной передаточной функции W (j ω). Значения ω для конечного количества точек характеристики наносятся вдоль характеристики, как показано на рис.3.2. Имея АФЧХ, можно по этим точкам построить характеристики А(ω) и φ(ω) .
АФЧХ строится как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в W (j ω) ω на – ω получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот является зеркальным отражением АФЧХ для положительных частот относительно вещественной оси. На рис. 3.2 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией.
АФЧХ можно строить и в прямоугольной системе координат – в комплексной плоскости. При этом координатами будут показанные на рис.3.2 проекции U и V вектора А на соответствующие оси. Зависимости U(ω) и V(ω) называются соответственно действительной (вещественной) и мнимой частотными характеристиками.
В дальнейшем для краткости будем в названии различных частотных характеристик опускать слово «частотная», говоря просто об амплитудной характеристике, фазовой характеристике.
При исследовании САУ амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах .
Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых , в логарифмических координатах характеристики деформируются таким образом, что возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями.
Второе удобство связано с построением АЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев, т.е. в логарифмическом масштабе АЧХ цепочки звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев.
АЧХ в логарифмических координатах (Рис. 3.3) строится в виде зависимости 20lg A от lg ω, называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ), а фазовая – в виде зависимости φ от lg ω, называется логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) .
Величина 20 lg A обозначается L . В качестве единицы этой величины используется децибел , равный одной десятой бела. Бел – это единица десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д. Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а lg A 2 = 2 lg A , то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд А , равно 2 lg A . Соответственно в децибелах оно равно 20 lg A . При этом существуют следующие соотношения между значениями A и L :
| А | 0.001 | 0.01 | 0.1 | 0.316 | 0.89 | 1.12 | 3.16 | ||||
| L ,дБ | -60 | -40 | -20 | -10 | -1 |
При применении ЛАХ логарифмическая фазовая характеристика строится в полулогарифмических координатах, т.е. в виде зависимости φ от lg ω, чтобы обе характеристики были связаны одним масштабом на оси абсцисс. Использование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имеет смысла, т.к. фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях.
На оси абсцисс указываются либо прямо значения lg ω, либо, что практически более удобно, значения самой частоты ω. В первом случае единицей приращения lg ω является декада, соответствующая изменению частоты в 10 раз. Применяется также деление оси абсцисс на октавы. Октава соответствует изменению частоты в два раза. (Одна октава равна 0.303 декады, т.к. lg 2 = 0.303).
Заметим также, что, т.к. при использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая ω=0, находится слева в бесконечности, логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от достаточно малого, но конечного значения ω, которое и откладывается в точке пересечения координатных осей. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс соответствует частоте среза ω с. Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям А<1 (ослабление амплитуды).
Аналитические выражения для рассмотренных выше частотных характеристик могут быть легко получены по передаточной функции. Если в выражение передаточной функции звена W(s) подставить s = jω , то получится комплексная величина W (jω ), которая представляет собой функцию ω и является амплитудно-фазовой частотной (или просто частотной) характеристикой звена. Ее модуль представляет собой амплитудную частотную характеристику А(ω) , а аргумент – фазовую частотную характеристику φ(ω) .
(3.1)
Формула (3.1) определяет искомую связь передаточной функции с частотными характеристиками звена, указанную выше: модуль частотной функции W(jω) есть А(ω) , а аргумент - φ(ω) .
Если представить W(jω) не в показательной, а в алгебраической форме, т.е.
то здесь U(ω) и V(ω) будут введенными ранее действительной и мнимой частотными характеристиками, являющимися координатами амплитудно-фазовой характеристики в комплексной плоскости.
Согласно (3.1) и (3.2), связь между приведенными выше частотными характеристиками следующая:
Порядок получения выражения для перечисленных выше частотных характеристик по передаточной функции звена несложен. После подстановки в выражение для передаточной функции получаем:
,
где индексами R и Q отмечены части соответствующих комплексных величин в числителе и знаменателе.
После освобождения от мнимости в знаменателе окончательно имеем:
Типовые динамические звенья систем автоматического управления
Что такое динамическое звено? На предыдущих занятиях мы рассматривали отдельные части системы автоматического управления и называли их элементами системы автоматического управления. Элементы могут иметь различный физический вид и конструктивное оформление. Главное, что на такие элементы подается некоторый входной сигнал х(t) , и как отклик на этот входной сигнал, элемент системы управления формирует некоторый выходной сигнал у(t) . Далее мы установили, что связь между выходным и входным сигналами определяется динамическими свойствами элемента управления, которые можно представить в виде передаточной функции W(s). Так вот, динамическим звеном называется любой элемент системы автоматического управления, имеющий определенное математическое описание, т.е. для которого известна передаточная функция.
Рис. 3.4. Элемент (а) и динамическое звено (б) САУ.
Типовые динамические звенья – это минимально необходимый набор звеньев для описания системы управления произвольного вида. К типовым звеньям относятся:
§ пропорциональное звено;
§ апериодическое звено I-ого порядка;
§ апериодическое звено II-ого порядка;
§ колебательное звено;
§ интегрирующее звено;
§ идеальное дифференцирующее звено;
§ форсирующее звено I-ого порядка;
§ форсирующее звено II-ого порядка;
§ звено с чистым запаздыванием.
Пропорциональное звено
Пропорциональное звено иначе еще называется безынерционным .
Передаточная функция.
Передаточная функция пропорционального звена имеет вид:
W(s) = K где К – коэффициент усиления.
Похожая информация.
Все элементы системы независимо от их конструктивного исполнения и назначения по своим динамическим свойствам можно подразделить на ограниченное число типовых динамических. Под типовым динамическим звеном понимают элемент системы направленного действия, описываемый в динамике дифференциальным уравнением не выше второго порядка или алгебраическим уравнением. Классифицируют звенья именно по виду уравнения динамики.
Все звенья можно разделить на два типа: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.
Звено является неминимально-фазовым, если его передаточная функция имеет положительные нули или полюса, у таких звеньев фазовая характеристика не соответствует дифференциальному уравнению. Для минимально-фазовых звеньев фазочастотная характеристика однозначно определяется амплитудно-частотной характеристикой.
Динамические звенья могут быть устойчивыми, если после приложения и снятия воздействия его выходная переменная стремится к значению до момента приложения воздействия (т.е. возвращается в исходное состояние); нейтральными (астатическими), если при ступенчатом воздействии выходная переменная изменяется с постоянной скоростью (астатизм первого порядка) или постоянным ускорением (астатизм второго порядка); а после приложения и снятия воздействия приходит в новое устойчивое состояние; неустойчивые, если выходная переменная после приложения и снятия возмущения изменяется, не приходя к некоторому устойчивому состоянию.
Рассмотрим минимально-фазовые звенья. По типу уравнений динамики их можно классифицировать следующим образом.
Простейшие звенья: а) безынерционное (усилительное, пропорциональное); б) идеально-интегрирующее, идеально-дифференцирующее;
Звенья первого порядка: а) инерционное звено первого порядка (апериодическое); б) форсирующее звено; в) реально-дифференцирующее звено первого порядка; г) интегро-дифференцирующее (инерционно-форсирующее) первого порядка.
Звенья второго порядка: а) апериодическое (инерционное) звено второго порядка; б) колебательное; в) консервативное.
Особые звенья: звено запаздывания и иррациональные звенья.
Рассмотрим типовые звенья, их уравнения динамики, передаточные функции и характеристики.
§1. Простейшие звенья.
1) Безынерционное звено.
Выходной сигнал этого звена по форме повторяет входной сигнал. Уравнение динамики
K - коэффициент пропорциональности, который может быть определен по статической характеристике
Уравнение звена в изображениях
и передаточная функция
Получим, заменив в выражении передаточной функции оператор Лапласа p на оператор Фурье jщ.
(реакция на ступенчатый сигнал)
Рисунок 3.1
Реакция на импульс
Звено устойчивое.
АФЧХ получим изменяя частоту от нуля до бесконечности. Из выражения W(jщ) видно, что комплексный коэффициент усиления не зависит от частоты и не будет смещения вектора W(jщ). Таким образом АФЧХ этого звена представляет собой точку на вещественной оси, отстоящую на расстояние K от начала координат.
Рисунок 3.2
Логарифмические амплитудно и фазочастотные характеристики:
Таким образом ЛАЧХ пройдет параллельно оси частот на расстоянии от нее (20 Lg K) определяемым коэффициентом передачи, фазовый сдвиг во всем диапазоне частот равен нулю.
Рисунок 3.3
Примеры безынерционных звеньев: зубчатая передача, рычажная передача, делитель напряжения, усилитель.
2) Идеально-интегрирующее звено.
Выходной сигнал этого звена равен интегралу от входного, уравнение динамики имеет следующий вид:
Где - время интегрирования.
Передаточная функция звена
Перейдем к выражению комплексного коэффициента передачи:
Временные характеристики:
а) переходная функция и характеристика
Рисунок 3.4
б) функция веса и импульсная переходная характеристика
Рисунок 3.5
По импульсной переходной характеристике видно, что звено астатическое (астатизм первого порядка), после снятия возмущения выходная переменная приходит к новому установившемуся значению.
Частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
представляет собой отрицательный отрезок мнимой полуоси.
Рисунок 3.6
Логарифмические частотные характеристики.
ЛАЧХ определяется выражением
и представляет собой прямую с отрицательным угловым коэффициентом. При щ=1 , точка пересечения с осью lg соответствует уравнению
20lgK - 20lg = 0, lg = lg K, т.е. = K.
Поэтому ее можно построить рассчитав значение L(= 1) = 20lgK и через эту точку провести прямую с наклоном -20Дб/дек, или через точку lg=lgK.
Рисунок 3.7
Уравнение фазовой характеристики, т.е. фазовый сдвиг, постоянен и не зависит от частоты, а характеристика ФЧХ параллельна оси частот.
Наклон ЛАЧХ -20Дб/дек означает, что с увеличением частоты в 10 раз (1 декада) модуль амплитудной характеристики уменьшается на 20 Дб (в 10 раз).
Примеры звена:
3) Идеально-дифференцирующее звено.
Выходной сигнал этого звена пропорционален скорости изменения входного сигнала и уравнение звена
Уравнение в изображениях
Передаточная функция звена
Комплексный коэффициент передачи
Временные характеристики
а) переходная функция и характеристика
Рисунок 3.9
б) функция вес и импульсная переходная характеристика
Два импульса противоположной полярности.
Частотные характеристики.
АФЧХ строится по выражению и представляет собой положительный отрезок мнимой оси. .
Рисунок 3.10
Логарифмические характеристики
ЛАЧХ строится по выражению и представляет собой прямую с положительным угловым коэффициентом, она пересекает ось lgщ в точке
На частоте щ=1 L(щ) = 20lgK.
Таким образом, ЛАЧX можно построить рассчитав точку и отложив ее на оси lgщ провести прямую с наклоном +20Дб/дек или через точку (при щ=1) 20lgK с тем же наклоном.
Рисунок 3.11
наклон +20Дб/дек, означает, что с увеличением частоты в 10 раз модуль амплитудной характеристики увеличивается на 20Дб (в 10 раз).
Уравнение фазовой характеристики - т.е. фазовый сдвиг не зависит от частоты и ФЧХ проходит параллельно оси lgщ через отметку +90є.
§2. Звенья первого порядка.
Апериодическое (инерционное) звено первого порядка.
Это звено в динамике описывается дифференциальным уравнением первого порядка.
где T - постоянная времени, характеризующая инерционные свойства звена;
K - коэффициент пропорциональности, характеризует статизм звена (коэффициент статизма).
Запишем уравнение в изображениях
передаточная функция;
Заменой p на jщ перейдем к комплексному коэффициенту передачи
Временные характеристики звена
а) Переходная функция и характеристика
Уравнение экспоненты;
Корень характеристического уравнения > Tp +1 = 0
Рисунок 3.13
Согласно уравнению переходной характеристики h(t=T)=0,63K, т.е. за время равное одной постоянной времени выходная переменная достигает 0,63 от установившегося значения h(?).
h(t=3T) = 0,95 h(?); h(t=4T) = 0,98 h(?), т.е. переходный процесс за время равное 4T можно считать завершившимся (tпер=(3ч4)T).
Постоянную времени можно определить по графику h(t) (как показано на рисунке) используя свойство экспоненты - проекция под касательной на линию установившегося значения равна постоянной времени или определяя время за которое h(t) достигает значение 0,63 h(?).
Рисунок 3.14
В соответствии с видом временных характеристик звено является устойчивым.
Частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению при изменении частоты 0 < щ < ?. АФЧХ этого звена согласно уравнению, представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.
Рисунок 3.15
При увеличении частоты вектор W(jщ) смещается по часовой стрелке и фазовый сдвиг меняется нуля до -90є.
Логарифмические характеристики.
Обычно строят асимптотические ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и очень легко рассчитываются. На низких частотах, второе слагаемое в выражении (*) очень мало и его можно не учитывать, при второе слагаемое дает значение 10lg2 = 3,01, а при увеличении частоты его вклад возрастает.
Поэтому асимптотическую ЛАЧХ строят следующим образом:
для частоты по уравнению - прямая параллельна оси частот;
для наклонную линию с наклоном -20 Дб/дек. Ошибка на частоте равна 3Дб, т.е. точная L(щ) на этой частоте проходит ниже на 3Дб (показана пунктиром).
Рисунок 3.16
Фазовая характеристика
Примеры звена:
Дифференциальным уравнением первого порядка описываются переходные процессы в магнитном усилителе (инерционный усилитель), тепловые процессы, процессы растворения и осаждения и другие технологические процессы.
Остальные звенья первого порядка можно рассматривать как соединения простейших звеньев и звена апериодического или как соединение простейших звеньев.
Форсирующее звено.
Рисунок 3.19
K1 - размерный коэффициент (сек.), K2 - безразмерный.
т.е. выходной сигнал пропорционален входному и скорости его изменения.
Комплексный коэффициент передачи
Временные характеристики звена
а)переходная функция и характеристика
Рисунок 3.20
б) функция веса и импульсная переходная характеристика
Рисунок 3.21
Звено устойчивое
Частотные характеристики
Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению
при изменении частоты 0 < щ < ? и представляет собой вертикальную прямую отстоящую от начала коорлинат на величину K.
Рисунок 3.22
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика >
Асимптотическая ЛАЧХ - ломаная линия, на первом участке до - прямая параллельная оси частот и отстоящая от нее на расстояние 20lgK, на частоте происходит излом и дальше характеристика проходит с наклоном +20 Дб/дек.
Рисунок 3.23
Реально-дифференцирующее звено
Это звено можно рассматривать как последовательное соединение идеально-дифференцирующего звена и апериодического первого порядка или как встречно-параллельное соединение безынерционного и идеально-интегрирующего звеньев.
Дифференциальное уравнение звена
Уравнение в изображениях и передаточная функция
Комплексный коэффициент передачи
Временная характеристика звена
а) переходная функция и характеристика
т.е. аналогична функции веса апериодического звена первого порядка.
Рисунок 3.26
б) функция веса и импульсная переходная характеристика.
Рисунок 3.27
Частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика при 0 < щ < ?, представляет собой полуокружность диаметром в первом квадранте.
Рисунок 3.28
Логарифмическая асимптотическая амплитудно-частотная характеристика представляет собой ломаную линию, до - наклон +20 Дб/дек далее прямая параллельна оси частот.
и может быть получена как сумма ЛАЧХ двух последовательно соединенных апериодического и идеально-дифференцирующего звена.
Рисунок 3.29
Инерционно-форсирующее (интегро-дифференцирующее) звено.
Может быть получено как последовательное соединение апериодического первого порядка и форсирующего звена или встречно-параллельного соединения усилителя и апериодического звена первого порядка.
Дифференциальное уравнение звена:
Уравнение в изображениях и передаточная функция
Комплексный коэффициент передачи
Свойства этого звена зависят от соотношения постоянных времени, если < 1 то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену, а если > 1 - к дифференцирующему.
Временные характеристики звена.
а) переходная функция и характеристики.
Рисунок 3.34
б) функция веса и импульсная переходная характеристика.
Рисунок 3.35
Частотные характеристики звена.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению при изменении частоты от нуля до бесконечности и вид ее также зависит от соотношения.
Рисунок 3.36
Логарифмические характеристики асимптотическая амплитудная также представляет собой ломаные линии и зависят от коэффициента в.
Рисунок 3.37
Неминимально-фазовые звенья
Звено является неминимально-фазовым звеном, если сдвиг по фазе при 0 < щ < ? превышает максимально возможное значение для данного типа уравнения динамики.
Звено является неминимально-фазовым, если его W(p) имеет положительный нуль или полюс (корень полинома числителя или знаменателя). Одной и той же АЧХ звена может соответствовать разные ФЧХ.
Устойчивое неминимально-фазовое инерционное звено первого порядка
Уравнение:
имеем положительный нуль
Корень положительное число.
при 0 < щ < ?, ц(щ) меняется от 0 до -180є.
Временные характеристики.
при T2 > T1
Рисунок 3.38
Частотные характеристики: АФЧХ T2 > T1
Рисунок 3.39
ЛАЧХ - - уравнение такое же как у инерционно-форсирующего звена.
Рисунок 3.40
Апериодическое неустойчивое неминимально-фазовое звено.
Уравнение:
Начало в третьем квадранте.
Рисунок 3.41
ЛАЧХ - - как у апериодического устойчивого.
Рисунок 3.42
Неустойчивое неминимально-фазовое звено второго порядка.
Уравнение:
Частотные характеристики - расходящиеся колебания.
Рисунок 3.43
ЛАЧХ - уравнение как у колебательного звена.
Рисунок 3.44
о < 0,3 - использовать номограммы поправок.
К неминимально-фазовым относятся звенья:
Неустойчивое
Неустойчивое
Устойчивое
и другие.
Особое звено (также неминимально-фазовое)
Звено запаздывания (чистого запаздывания)
Уравнение:
Не зависит от щ.
ц(щ) при изменении частоты меняется от 0 до -?.
Временные характеристики. Звено повторяет входной сигнал без искажения, но со сдвигом во времени:
Рисунок 3.45
Частотные характеристики:
АФЧХ - окружность первого радиуса.
Рисунок 3.46
ЛАЧХ - - совпадает с осью частот, а ц(щ) - от 0 до -?.
Рисунок 3.47
Примеры звеньев: устройства считывания и записи информации, длинные линии электропередачи, гидротрубопроводы, транспортные линии.
Введение
Теория автоматического управления является технической наукой общего применения. Она дает теоретическую базу для исследования, разработки и проектирования автоматических и автоматизированных систем.
1. Основные понятия и определения
Существует чрезвычайно большое разнообразие систем, автоматически выполняющих те или иные функции по управлению различными физическими процессами во всех областях техники.
Автоматическая система способна в течение длительного времени нужным образом изменять какие-либо физические величины в том или ином управляемом процессе.
Автоматизированная система – система, в качестве одного из узлов которой используется человек-оператор.
Операция управления – действия, направленные на правильное и высококачественное функционирование объекта управления. Они обеспечивают в нужный момент времени начало, порядок следования и прекращение отдельных действий; предусматривают выделение необходимых ресурсов и задают нужные параметры самому процессу.
Объект управления – это совокупность технических средств, выполняющих определенный процесс и подлежащих управлению.
Все системы автоматического управления (САУ) можно классифицировать следующим образом.
1. По виду структурной схемы:
– разомкнутые (автоматы, работающие по некоторым программам);
– замкнутые (с обратной связью).
2. По виду уравнений динамики процессов управления:
– линейные;
– нелинейные.
Наиболее полно изучены линейные системы.
3. По характеру передачи сигнала:
– непрерывные;
– дискретные:
– импульсные (дискретные по времени);
– цифровые (дискретные по времени и по уровню);
– релейные (сигнал изменяется скачком).
4. По характеру функционирования:
– обычные;
– адаптивные (самонастраивающиеся).
5. В зависимости от характера изменения управляющего воздействия:
– системы автоматической стабилизации;
– системы программного управления;
– системы слежения.
Типовая схема САУ выглядит следующим образом (рис. 1).
Рис. 1. Типовая схема САУ
g (t ) – задающее воздействие;
f (t ) – возмущающее воздействие (может действовать на любой блок системы);
у (t ) – выходной сигнал;
1 – задающее устройство. Устройство преобразует входное воздействие g (t ) в сигнал, пропорциональный заданному значению выходной величины у (t );
2, 5 – устройства сравнения. Вырабатывают сигнал рассогласования (ошибки) е
(t
) между входным сигналом и сигналом главной обратной
связи;
3 – преобразующее устройство;
4, 8 – корректирующие устройства. Повышают качество управления;
6 – усилительное устройство;
7 – исполнительное устройство;
9 – измерительное устройство;
10 – согласующее устройство. Вырабатывает сигнал, находящийся в определенной функциональной зависимости от регулируемой переменной;
11 – объект управления.
Таким образом, упрощенно любую САУ можно представить следующим образом (рис. 2).
 |
Рис. 2. Упрощенная схема САУ
Задачи теории САУ
Теория автоматического управления изучает общие принципы построения САУ и методы их исследования независимо от физической природы процессов.
Можно выделить две задачи.
1. Задача анализа: исследование статических и динамических свойств системы.
2. Задача синтеза: разработка новых систем, удовлетворяющих заданным техническим требованиям.
При решении этих задач исследуются следующие вопросы.
1. Формирование функциональной и структурной схем САУ.
2. Построение статических и динамических характеристик отдельных звеньев и системы в целом.
3. Определение ошибок управления и показателей точности замкнутой системы.
4. Исследование устойчивости системы.
5. Оценка качественных показателей процесса управления.
6. Синтез корректирующих устройств и оптимизация параметров системы.
3. Дифференциальные уравнения и
передаточные функции
Для анализа систем необходимо иметь их математическое описание. Обычно это дифференциальные уравнения (ДУ). Если в этом уравнении используются производные входных и выходных величин, то это уравнение динамики. Если положить нулю производные входных сигналов, – это уравнение статики (описание системы в установившемся режиме). Эти уравнения составляются на основе физических законов.
В общем случае полученные уравнения являются нелинейными. Для упрощения анализа применяют те или иные методы линеаризации, например, разложение в ряд Тейлора.
В общем виде линейное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:
В теории автоматического управления принята стандартная форма записи дифференциальных уравнений: – производная заменяется на оператор p, коэффициент при выходной величине должен быть равен 1.
Например, для уравнения второго порядка:
Параметр K называется коэффициентом передачи (коэффициент усиления). Это отношение выходной величины к входной в установившемся режиме.
Параметр Т – постоянная времени.
Такой вид представляет первую форму описания САУ.
Кроме описания во временной области, системы описываются передаточными функциями . Чтобы получить передаточную функцию нужно использовать разложение Лапласа
,
где р = с + jd – комплексное число;
f (t ) – оригинал;
F (p ) – изображение по Лапласу.
Соответственно и дифференциальное уравнение можно преобразовать и записать относительно изображений (см. пример выше):
Это вторая форма описания САУ.
Передаточная функция – это отношение изображений выходной и входной величины, найденное из вышерассмотренного уравнения:
.
Для исследования частотных свойств САУ используется частотная передаточная функция. Для ее получения используется преобразование Фурье. При этом оператор p = j w, а частотная передаточная функция записывается в виде W (j w). Такое представление является третьей формой описания систем.
Характеристики САУ
Существуют различные методы исследования САУ или отдельных ее звеньев. Один из них заключается в анализе реакции системы или звена на внешнее воздействие.
В качестве внешних воздействий используют стандартные сигналы. В теории САУ используют три вида сигнала.
1. Единичное входное воздействие 1(t ) (рис. 3).
 |
Рис. 3. Единичное входное воздействие
2. d-импульс – сигнал нулевой ширины и бесконечной амплитуды – d(t ), причем его площадь равна 1 (рис. 4)
.
Рис. 4. Дельта-импульс
Такая функция является математической абстракцией. Практически таким сигналом считается короткий импульс большой мощности.
d-импульс математически связан с сигналом 1(t ):
.
3. А sinwt , причем для простоты А = 1.
Соответственно, на каждый из этих стандартных сигналов существует определенная реакция САУ.
1. Реакцией САУ или звена на единичное входное воздействие называется переходная характеристика или переходная функция h (t ) (рис. 5).
Рис. 6. Пример весовой функции САУ
При использовании преобразования Лапласа получим следующие соотношения:
.
Преобразованием Лапласа от весовой функции является передаточная функция.
Весовая функция и переходная характеристика связаны простым соотношением
.
Описание САУ во временной области через весовую функцию эквивалентно описанию передаточной функцией в области изображений.
Можно найти реакцию системы на произвольный входной сигнал. Для этого можно воспользоваться интегралом Дюамеля или интегралом свертки
.
3. Если используется входной сигнал вида А sinwt , то говорят о частотных характеристиках системы.
Частотные характеристики – это выражения и графические зависимости, выражающие реакцию исследуемой САУ на сигнал вида А sinwt при различных значениях частоты w.
На выходе САУ сигнал будет иметь вид
где A (t ) – амплитуда сигнала, j(t ) – сдвиг фазы.
Частотную передаточную функцию для получения частотных характеристик можно представить в следующем виде:
;
, (1)
где u (w) и v (w) – действительная и мнимая части комплексного выражения.
Вещественная часть состоит из четных степеней частоты w, а мнимая – из нечетных.
Эту функцию можно представить графически на комплексной плоскости. Такое изображение называется годографом (рис. 7) или амплитудно-фазовой характеристикой. Кривая строится путем получения точек на плоскости при задании определенных значений частоты w и расчете u (w) и n(w).
Для получения графика в случае отрицательных частот необходимо сделать зеркальное отображение имеющейся характеристики относительно действительной оси.
 |
Рис. 7. Годограф или амплитудно-фазовая характеристика системы
Аналогичным образом можно построить отдельно графики длины вектора А (w) и угла поворота j(w). Тогда получим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.
На практике часто используют логарифмические характеристики. Логично использовать натуральный логарифм
Однако на практике используют десятичные логарифмы и получают логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ ) (рис. 8) и логарифмическую фазо-частотную (ЛФЧХ ) характеристики (рис. 9).
Рис. 9. Пример ЛФЧХ системы
При вычислении логарифмической фазочастотной характеристики используется (1).
При построении графиков по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Так как при вычислении значений ЛАЧХ в выражениях используются зависимости от степени w, то график имеет стандартный наклон, кратный 20 дБ/дек. Дек – декада, т. е. изменение частоты на порядок.
Теоретически точка w = 0 на оси частот должна быть слева в бесконечности, но для практических расчетов ось ординат сдвигают вправо.
Логарифмические характеристики имеют следующие достоинства:
– простота построения;
– легкость получения ЛАЧХ системы из ЛАЧХ звеньев путем геометрического сложения;
– простота анализа САУ.
Законы управления
Это алгоритмы или функциональные зависимости, в соответствии с которыми формируется управляющее (регулирующее) воздействие.
u (t ) = F (x (t ), g (t ), f (t )),
где x (t ) – ошибка;
g (t ) – задающее воздействие;
f (t ) – возмущающее воздействие.
u (t ) = F 1 (x ) + F 2 (g ) + F 3 (f ),
где F 1 (x ) – управление по отклонению или ошибке;
F 2 (g ) и F 3 (f ) – управление по соответствующему воздействию.
Обычно рассматриваются линейные законы относительно в ДУ.
Различают несколько типовых законов управления.
1. Пропорциональное управление.
В цепи управления находится пропорциональное (статическое)
звено.
В установившемся режиме:
,
где K – общий коэффициент усиления системы;
y УСТ – установившееся значение выходной величины;
x 0 – постоянное значение ошибки.
Для замкнутой САУ найдем установившееся значение ошибки по формуле (3):
где g 0 – постоянное входное воздействие;
x f УСТ – установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.
Анализ выражения показывает, что установившаяся ошибка уменьшилась в (1 + K ) раз, но в принципе не равна 0.
2. Интегральное управление.
В этом случае имеет место зависимость между ошибкой и скоростью изменения регулирующего (управляющего) воздействия
;
В составе САУ обязательно имеются интегрирующие звенья.
Установившееся значение ошибки находим по формуле (3).
Первое слагаемое равно 0, второе зависит от значения числителя, поэтому для него применим выражение
.
При отсутствии возмущающего воздействия общее значение установившейся ошибки равно нулю.
Система является астатической по задающему воздействию или обладает астатизмом первого порядка. Однако, если задающее воздействие переменно (скорость его изменения не равна 0), то установившаяся ошибка будет иметь ненулевое значение.
Для устранения ошибки по скорости в САУ необходимо добавить еще один интегратор.
Такой подход имеет недостаток: при наличии большого количества интеграторов процесс управления замедляется и изменяется устойчивость системы.
3. Управление по производной (дифференциальное).
Процесс управления описывается соотношениями:
;
.
Процесс управления начинает действовать, когда ошибка еще равна 0, а ее производная отлична от 0. В установившемся режиме и цепь управления разрывается, следовательно, данный закон не имеет самостоятельного значения. Используется как дополнение к другим. Он обеспечивает быструю реакцию САУ в переходном режиме.
4. Изодромное управление.
Возможно использование всех вышеперечисленных законов одновременно. Закон управления в этом случае имеет вид:
.
Такое управление сочетает достоинства всех рассмотренных законов. Например, при линейно изменяющемся входном воздействии (рис. 28) в начальный момент (участок I) действует управление по производной, затем больший вклад вносит пропорциональное управление, после момента времени t 0 (участок II) существенно интегральное управление.
 |
Рис. 28. Законы управления в САУ
9. Процесс управления и требования к нему
Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения динамики замкнутой системы. При этом можно определить требования к системе по трем основным направлениям.
1. Принципиальная оценка возможности перехода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии. Это оценка устойчивости системы.
2. Оценка качества переходного процесса.
3. Оценка точности системы в установившемся состоянии.
Рассмотрим каждый из этих пунктов.
Критерии устойчивости
Критерии устойчивости можно разбить на две большие группы.
1. Алгебраические.
2. Частотные.
Рассмотрим их подробнее.
Показатели качества
Требования к качеству процесса управления в каждом конкретном случае могут быть различными, но как правило, оценивается характер переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии (рис. 40).
 |
Рис. 40. Показатели качества переходного процесса
Используются следующие показатели качества переходного
процесса.
1. t РЕГ – время регулирования (длительность переходного процесса), время, в течение которого, начиная с момента приложения входного воздействия, отклонение выходной величины от ее установившегося значения, становится меньше наперед заданного значения ∆. Обычно выбирается ∆ = 5% от х УСТ.
2. Перерегулирование:
.
3. Колебательность – число полных колебаний выходной величины за время регулирования.
4. Установившаяся ошибка – это разность между задающим воздействием и установившимся значением выходной величины.
Метод Солодовникова
Здесь вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной характеристики. Ее высота равна 1, частота среза (частота положительности) w п =1 (рис. 41).
Рис. 41. Типовая единичная трапецеидальная вещественная характеристика
Для данной трапеции существуют таблицы связи выходной величины х (t ) от коэффициента наклона c = w а / w п.
Метод заключается в выполнении следующей последовательности действий.
1. Строится график вещественной части частотной передаточной функции замкнутой системы.
2. График разбивается на трапеции. Эта процедура представлена на рис. 42. В данном примере получилось три типовые трапеции.
 |
Рис. 42. Разбиение графика вещественной характеристики на трапеции
3. Для каждой трапеции по таблицам находятся значения выходного процесса x 1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t ).
4. Находится результирующий график выходного сигнала путем сложения графиков x 1 (t ), x 2 (t ), x 3 (t ).
Так как таблицы разработаны для единичной трапеции, то при построении переходного процесса для каждой трапеции, необходимо использовать правила (формулы) перехода к реальному значению отсчетов выходного сигнала.
1. Получение установившегося значения P (0) = x (∞) = x УСТ.
2. Получение действительной амплитуды сигнала
3. Изменение масштаба времени 
.
Показатели качества переходного процесса можно приближенно оценить по вещественной частотной характеристике замкнутой системы, не выполняя вышерассмотренных вычислений. Все разновидности графика этой характеристики представлены на рис. 43.
 |
Рис. 43. Типовой вид графиков вещественной характеристики
1 – график характеристики имеет «горб»;
2 – «горба» нет, производная и принимает различные значения;
3 – «горба» нет, и монотонно убывает.
В случае 1 переходный процесс х (t ) имеет перерегулирование, причем его величина более 18%.
В случае 2 переходный процесс х (t ) имеет перерегулирование, причем его величина менее 18%.
В случае 3 процесс управления монотонный.
По графику можно приближенно определить и время переходного процесса
,
где w СЧ – диапазон существенных частот. Характеристика Р (w) в этом диапазоне превышает некоторый уровень e. Обычно e = 5%.
Показатель колебательности
Этот параметр используется для определения запаса устойчивости. Его можно вычислить по значению модуля частотной передаточной функции замкнутой системы
.
Показатель колебательности равен отношению 
и представлен на рис. 44.
 |
Рис. 44. Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы
Это относительная высота резонансного пика. Для упрощения расчетов считается, что М (0) = 1. При этом М К = М MAX .
Физически показатель колебательности – это отношение максимальных значений выходного и входного сигналов САУ.
Чем меньше запас устойчивости САУ, тем больше склонность системы к колебаниям, тем выше резонансный пик. Обычно показатель колебательности лежит в диапазоне 1,1 … 1,5.
M k можно определить по виду частотной характеристики разомкнутой системы, пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы
.
Представив W (j w) через действительную U и мнимую V части, получим:
;
Данные соотношения описывают окружность, причем С – вещественная координата ее центра; R – радиус.
На комплексной плоскости можно построить семейство окружностей с этими параметрами, зависящими от М . На этот график наносится годограф разомкнутой системы (рис. 45).
Рис. 46 Построение графика модуля частотной передаточной функции
замкнутой системы
Иногда достаточно определить максимальное значение М MAX (по касанию АФХ соответствующей окружности).
Возможно решение обратной задачи: задается допустимое значение показателя М ДОП. Необходимо соответствующим образом спроектировать систему.
Для выполнения этого условия нужно обеспечить, чтобы годограф САУ не заходил в область, ограниченную окружностью с заданным значением М (рис. 47).
 |
Рис. 47. Допустимая зона параметров САУ по показателю колебательности
Синтез линейных САУ
Способы синтеза САУ
Главные цели проектирования САУ – обеспечение устойчивости системы и обеспечение требуемого качества переходного процесса.
Достичь этих целей можно двумя способами.
1. Изменение параметров системы, т. е. изменение параметров звеньев (коэффициент усиления, постоянная времени). В ряде случаев такой подход не приводит к желаемому результату.
2. Изменение структуры системы. Обычно это введение дополнительных устройств или блоков (корректирующих устройств).
Рассмотрим подробнее второй подход.
В теории САУ различают 4 вида корректирующих устройств.
1. Последовательные корректирующие устройства (корректирующие фильтры).
2. Параллельные корректирующие устройства, обычно в виде местной обратной связи.
3. Корректирующие устройства по внешнему воздействию.
4. Неединичная главная обратная связь.
Задание
Необходимо выполнить следующие действия.
1. Описать работу системы.
2. Определить передаточные функции элементов системы.
3. Составить структурную схему системы.
4. Построить логарифмические характеристики разомкнутой
системы.
5. Определить устойчивость и запас устойчивости по амплитуде и фазе.
6. С помощью критерия Гурвица определить критическое значение добротности системы без обратной связи.
7. Ввести скоростную обратную связь.
8. Найти минимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для устойчивости системы.
9. Найти оптимальное значение коэффициента скоростной обратной связи, необходимого для обеспечения показателей качества переходного процесса системы.
Исходная схема САУ (рис. 59):
 |
Рис. 59. Исходная схема системы
где СП – сельсинная пара;
Р – редуктор;
Д – двигатель;
ОУ – объект управления;
У – усилитель;
КО – командная ось;
ИО – исполнительная ось;
α – угол поворота сельсин-датчика – это командное воздействие;
β – угол поворота двигателя;
γ – угол поворота редуктора – это исполнительное воздействие;
U 1 – выходной сигнал СП;
U 2 – выходной сигнал У;
Параметры САУ:
U MAX – максимальное напряжение на выходе сельсин-трансформатора;
k У – коэффициент усиления У;
T У – постоянная времени У;
U У – номинальное напряжение на обмотке управления двигателя;
N XX – число оборотов в минуту при холостом ходе двигателя и при номинальном напряжении двигателя;
T Д – постоянная времени Д;
i – передаточное число редуктора;
S ТГ – крутизна выходной характеристики тахогенератора;
t РЕГ – время регулирования;
s – величина перерегулирования;
n – число полных колебаний выходного сигнала.
Исходные данные:
k У = 900;
T У = 0.01 с;
T Д = 0.052 с;
i = 1.2 × 10 3 ;
U MAX = 5 В;
U У = 30 В;
N XX = 10000 об/мин;
S ТГ = 0.001 В × с/рад;
t РЕГ £ 1 с;
n = 1,5.
Описание работы системы
Из схемы системы, приведённой в задании видно (см. рис. 59), что задающим устройством является командная ось, вращаемая сельсин-датчиком по произвольному закону α = α(t ). Тот же самый закон угла поворота во времени α(t ) = γ(t ) должен быть автоматически воспроизведён на выходе системы, т. е. на объект управления и на исполнительную ось. Если углы поворота командной и исполнительной оси не равны, (α(t ) ¹ γ(t )), то на выходе сельсинной пары возникает напряжение рассогласования U 1 . Величина U 1 зависит от величины углов поворота командной и исполнительной осей. Напряжение U 1 поступает на вход усилителя, на выходе которого возникает напряжение U 2 , поступающее на обмотку управления двигателя. В результате этого начинает вращаться ротор двигателя в сторону уменьшения ошибки рассогласования (θ = α – γ) до согласования двух осей. То есть поворот ротора двигателя через редуктор задаёт новый закон угла поворота исполнительной оси. Ротор двигателя будет вращаться до тех пор, пока ошибка рассогласования не будет сведена к нулю, после чего он остановится. Таким образом, система охвачена отрицательной обратной связью.
Случайные процессы в САУ
Основные понятия
Выше были изучены процессы работы САУ при поступлении на ее вход детерминированных сигналов.
Во многих случаях входной сигнал может принимать случайные значения. При этом можно оценивать только вероятностные характеристики.
Пример случайного воздействия: следящая система доплеровского измерителя скорости. Спектральные характеристики процессов САУ в этом случае представлены на рис. 66.
Доплеровская частота W зависит не только от скорости движения объекта, но и от угла падения луча и вида подстилающей поверхности, поэтому носит случайный характер. При этом спектральная характеристика принимаемого сигнала имеет амплитуду S W и ширину Dw, изменяющуюся случайным образом.
 |
Рис. 66. Спектральные характеристики случайных процессов САУ
w 0 – излучаемая частота;
w П – принимаемая частота;
Dw – ширина спектра.
Расчеты по минимуму ошибки
Если на систему одновременно действует полезный сигнал и помеха, то может быть решена задача оптимального расчета системы с тем, чтобы обеспечить наименьшую результирующую ошибку системы.
Критерием является минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой сигналом и помехой. Для случайных процессов обычно ограничиваются оценкой среднеквадратической ошибки. Необходимо обеспечить минимум среднеквадратической ошибки при одновременном действии сигнала и помехи.
Критерий выглядит следующим образом:
.
Нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины.
Возможны две формулировки данной задачи.
1. Имеется САУ заданной структуры. Необходимо так выбрать ее параметры, чтобы обеспечить минимум СКО при заданных статистических параметрах сигнала и ошибки.
Решение ищется следующим образом: зная спектральную плотность ошибки, теоретически находится выражение для расчета дисперсии и СКО. Это выражение зависит от параметров системы, полезного сигнала и помехи. Ищутся условия на параметры системы для обеспечения минимума дисперсии. В простых случаях можно применить известные методы нахождения экстремума функции путем дифференцирования и приравнивания к нулю частных производных.
2. Ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры системы и параметров звеньев для получения теоретически минимальной среднеквадратической ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи.
Решение следующее: находится теоретическая передаточная функция замкнутой системы, и к ней стремятся при проектировании. Возможна ситуация, что реализация САУ с такой оптимальной передаточной функцией будет сопряжена со значительными трудностями.
Нелинейные САУ
Анализ нелинейных САУ (НСАУ) представляет собой достаточно трудную задачу. При ее решении стремятся свести такую САУ к линейной с определенными допущения и ограничениями.
К таким системам относятся те, в которых имеется хотя бы одно звено, описываемое нелинейными дифференциальными уравнениями.
Нелинейные звенья могут быть следующих видов:
Релейного типа;
С кусочно-линейной характеристикой;
С криволинейной характеристикой любого очертания;
Имеется произведение и другие комбинации переменных;
Нелинейное звено с запаздыванием;
Импульсное звено;
Логическое;
Описываемое кусочно-линейным дифференциальным уравнением.
Нелинейности могут быть статические и динамические. Статические описываются нелинейными статическими характеристиками, а динамические – нелинейными дифференциальными уравнениями.
Фазовое пространство
Для наглядного представления процессов нелинейных САУ вводится понятие «фазовое пространство», которое заключается в следующем.
Дифференциальное уравнение замкнутой системы n -го порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
,
где x 1 – выходная величина;
x 2 – x n – вспомогательные переменные;
f , g – входные воздействия (возмущающее и задающее);
x 10 = x 1 (t = 0), x 20 = x 2 (t = 0) … – начальные условия.
Эти дифференциальные уравнения можно представить геометрически в n -мерном пространстве. Например, при n = 3 (рис. 75).
 |
Рис. 75. Трехмерное фазовое пространство
В реальном процессе управления в каждый момент времени величины x 1 , x 2 , x 3 имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве. Точка М называется изображающей. С течением времени величины x 1 , x 2 , x 3 изменяются, точка М перемещается по определенной траектории, показывая так называемую фазовую траекторию. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения САУ в процессе управления.
Рассмотрим пример фазовых траекторий некоторых линейных САУ. Пусть они описываются уравнением 
. В зависимости от параметров ДУ возможно несколько случаев. Некоторые из них представлены на рис. 76.
Рис. 76,а соответствует комплексным корням с отрицательной вещественной частью (наличие затухающего переходного процесса), случай рис. 76,б показывает фазовую траекторию апериодического затухающего процесса при отрицательных вещественных корнях характеристического уравнения.
ДУ представляют собой выражения для проекций скорости изображающей точки М на óси координат. Поэтому по значениям правых частей уравнений в каждый момент времени можно судить о движении точки М , и, следовательно, о поведении реальной НСАУ в процессе управления.
Фазовая траектория – это качественная характеристика НСАУ. Для определения количественных значений выходных сигналов необходимо решать дифференциальные уравнения в каждой точке.
Если дифференциальные уравнения составлены для отклонений выходного сигнала от установившихся значений, то для устойчивой системы фазовая кривая будет стремиться в начало координат.
 |
а)
Рис. 76. Примеры фазовых траекторий
Устойчивость по Ляпунову
Что такое динамическое звено? На предыдущих занятиях мы рассматривали отдельные части системы автоматического управления и называли их элементами системы автоматического управления. Элементы могут иметь различный физический вид и конструктивное оформление. Главное, что на такие элементы подается некоторый входной сигнал х( t ) , и как отклик на этот входной сигнал, элемент системы управления формирует некоторый выходной сигнал у( t ) . Далее мы установили, что связь между выходным и входным сигналами определяется динамическими свойствами элемента управления, которые можно представить в виде передаточной функции W(s). Так вот, динамическим звеном называется любой элемент системы автоматического управления, имеющий определенное математическое описание, т.е. для которого известна передаточная функция.
Рис. 3.4. Элемент (а) и динамическое звено (б) САУ.
Типовые динамические звенья – это минимально необходимый набор звеньев для описания системы управления произвольного вида. К типовым звеньям относятся:
пропорциональное звено;
апериодическое звено I-ого порядка;
апериодическое звено II-ого порядка;
колебательное звено;
интегрирующее звено;
идеальное дифференцирующее звено;
форсирующее звено I-ого порядка;
форсирующее звено II-ого порядка;
звено с чистым запаздыванием.
Пропорциональное звено
Пропорциональное звено иначе еще называется безынерционным .
1. Передаточная функция.
Передаточная функция пропорционального звена имеет вид:
W (s ) = K где К – коэффициент усиления.
Пропорциональное звено описывается алгебраическим уравнением:
у(t ) = K · х(t )
Примерами таких пропорциональных звеньев могут служить, рычажный механизм, жесткая механическая передача, редуктор, электронный усилитель сигналов на низких частотах, делитель напряжения и др.
4. Переходная функция .
Переходная функция пропорциональное звена имеет вид:
h(t) = L -1 = L -1 = K · 1(t)
5. Весовая функция.
Весовая функция пропорционального звена равна:
w(t) = L -1 = K ·δ(t)
Рис. 3.5. Переходная функция, весовая функция, АФЧХ и АЧХ пропорционального звена.
6. Частотные характеристики .
Найдем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ пропорционального звена:
W(j ω ) = K = K +0 ·j
A(ω
)
=
=
K
φ(ω) = arctg(0/K) = 0
L(ω) = 20·lg = 20·lg(K)
Как следует из представленных результатов, амплитуда выходного сигнала не зависит от частоты. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ¥, как правило на высоких частотах, коэффициент усиления становится меньше и стремиться к нулю при ω → ∞. Таким образом, математическая модель пропорционального звена является некоторой идеализацией реальных звеньев .
Апериодическое звено I -ого порядка
Апериодические звенья иначе еще называются инерционными .
1. Передаточная функция.
Передаточная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:
W (s ) = K /(T · s + 1)
где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. Поскольку постоянная времени характеризует некоторый временной интервал , то ее величина должна быть всегда положительной, т.е. (T > 0).
2. Математическое описание звена.
Апериодическое звено I-ого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
T · d у(t )/ dt + у(t ) = K ·х(t )
3. Физическая реализация звена.
Примерами апериодического звена I-ого порядка могут служить: электрический RC-фильтр; термоэлектрический преобразователь; резервуар с сжатым газом и т.п.
4. Переходная функция .
Переходная функция апериодического звена I-ого порядка имеет вид:
h(t) = L -1 = L -1 = K – K·e -t/T = K·(1 – e -t/T )
Рис. 3.6. Переходная характеристика апериодического звена I-го порядка.
Переходный процесс апериодического звена I-ого порядка имеет экспоненциальный вид. Установившееся значение равно: h уст = K. Касательная в точке t = 0 пересекает линию установившегося значения в точке t = T. В момент времени t = T переходная функция принимает значение: h(T) ≈ 0.632·K, т.е. за время T переходная характеристика набирает только около 63% от установившегося значения.
Определим время регулирования T у для апериодического звена I-ого порядка. Как известно из предыдущей лекции, время регулирования – это время, после которого разница между текущим и установившимся значениями не будет превышать некоторой заданной малой величины Δ. (Как правило, Δ задается как 5 % от установившегося значения).
h(T у) = (1 – Δ)·h уст = (1 – Δ)·K = K·(1 – e - T у/ T), отсюда е - T у/ T = Δ, тогда T у /T = -ln(Δ), В итоге получаем T у = [-ln(Δ)]·T.
При Δ = 0,05 T у = - ln(0.05)·T ≈ 3·T.
Другими словами, время переходного процесса апериодического звена I-ого порядка приблизительно в 3 раза превышает постоянную времени.