Выделим из тела в окрестности точки бесконечно малую треугольную призму, по основанию которой нормальные и касательные напряжения равны нулю.
Правило знаков любого σ > 0, если нормальные напряжения направлены от площадки; t > 0, если стремится вращать плоскость чертежа по ходу часовой стрелки; a > 0, если грань bc для совмещения с гранью ас нужно повернуть на острый угол против часовой стрелки.
Найдем равнодействующую силы приложенной к каждой грани призмы. Для этого нужно соответствующие напряжения умножить на площадь грани.
Эти равнодействующие силы должны удовлетворять всем условиям равнодействия. Проведём оси U и V, и реализуем шесть условий равновесия.
åU =0 Ta + Fy ·cos a - Tx · sin a - Fx · sin a - Ty ·cos a
Ta + cos a (Fy - Ty) – sin a (Tx + Fx) (1)
åV = 0 Fa - Fx · cos a+ Ty · sin a - Fx ·cos a - Fy ·sin a
Fa -Fx + Tx ·cos a + (Ty – Fy ·sin a) = 0 (2)
Сумма моментов относительно точки на оси å m 0 = 0
å m 0 = 0 Tx · dy/2 + Ty · dx/2 = 0 (3)
Подставим значения Tx и Ty и разделим обе части на dx/2 · dy dz
t x · dx/2 · dy dz + t y · dx/2 · dy dz = 0
Касательные напряжения по двум взаимно-перпендикулярным площадям равны по модулю обратны по знаку. Зависимость (4) называется законом парности касательных напряжений. Из (4) следует что касательные напряжения направлены или к вершине прямого угла или от него.
Если подставить в зависимость (1) и (2) и заменить t y на - t ч, а также учесть, что dx/ds = sin a , а dy/ds =cos a , то после преобразований получим значения нормальных и касательных напряжений по площадке повернутой относительно площадки с σ х и σ y на угол a.
σ a = σ x · cos 2 a + σ y · sin 2 a + tx · sin2a (5)
t y = ((σ x · σ y)/2) sin2a - tx · cos2a (6)
Если формулу (5) подставить в значение a и a ¹ 90°, то получим
σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = const. (7)
Вывод: сумму нормальных напряжений по двум взаимно- перпендикулярным площадкам является величиной постоянной, значит если на первой площадке имеем max нормальных напряжений, то по перпендикулярной ей площадке будут σ min.
Главные напряжения. Главные площади.
При инженерных расчетах нет необходимости в определении напряжений по всем площадкам проходящим через данную точку. Достаточно знать их экстремальные значения σ max и σ min , которые называются главными напряжениями, а площадки по которым они действуют называются главными площадками.
Чтобы получить экстремальное значение σ нужно первую производную от выражения (5) по углу a приравнять нулю.
Вывод: по главным площадкам касательные напряжения равны нулю.
tg2a 0 = 
(8)
tg2a 0 = 
(9)
Для определения положения главных площадок площадки по которым действуют σ x и σ y нужно повернуть на угол a 0 против хода часовой стрелки, если a 0 > 0 .
Из формулы (8) 2a 0 изменяется от –90° до 90°, а значит - 45°£a 0 £45° , это значит, что поворот может быть на угол не более 45 °.
При определении главных напряжений значение a 0 из (8) можно подставить в (5) или пользоватся формулой полученной из зависимости (6) и (9).
(10)
Экстремальные касательные напряжения.
Площадки по которым действуют экстремальные касательные напряжения называют площадками сдвига.
Чтобы определить экстремальные касательные напряжения нужно, взяв первую производную от (6) по углу a приравнивая её к нулю.
; 
; 
Разделим обе части уравнения на cos2a 1 получим:
(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0
tg2a 1 = 
(11)
Угол наклона плоскости с экстремальным касательным напряжением к площадке с dх нужно повернуть против хода часовой стрелки на угол a 1.
Из формулы (11) можно получить a 1 и a 1 +90, которые определяются двумя взаимно-перпендикулярными площадками. На одной из них будет действовать t max, а по другой t min . Но в соответствии с законами парности касательных напряжений t max = - t min . Из сравнения (8) и (11) получим a 1 ¹ a 0 +45°
Вывод: между главными площадками и площадками сдвига угол 45°
Подставив в формулу (6) σ х = σ max ; σ y = σ min ; t x = 0; a 1 =+ 45° получим
= +
(12)
подставим в (12) значение из (10) и после преобразований получим зависимость экстремальных касательных напряжений от напряжений по случайным площадям
= +
1/2 
(13)
Круги Мора.
Пусть дано некоторое плоское напряженное состояние.
Построим для этого напряженного состояния круг Мора в системе прямоугольных координат.
Порядок действий:
1. по оси d отложим в максимальную величину dх
2. по оси t отложим значение ty
3. на пересечении получим точку А
4. аналогично отложим) dу и tх; точка А характеризует направление по вертикальным граням, точка В – по горизонтальным.
5. Соединим точки А и В и на пересечении с осью d получим точку О
6. Из точки О, как из центра круга проведем окружность
7. Определим радиус окружности из прямоугольного треугольника ОКВ
R = 
На пересечении горизонтальных и вертикальных площадок с окружностью получим точку С, которую назовём полюсом.
Теперь можно определить направление на любой площадке, для этого нужно параллельно заданной площадке провести через полюс прямую до пересечения с окружностью.
Точка М будет иметь координаты da и ta. Можно решить и обратную задачу, т. е. по значениям da и ta определить угол a.
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Лекция 15
Примером конструкции, все точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, к примеру, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.
В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. Отсюда понятно внимание, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ уделяется анализу этого вида напряженного состояния.
При изображении элементарного параллелепипеда, находящегося в плоском напряженном состоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1).Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рисунке компоненты напряженного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений
t xy = t yx , плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами - s x , s y , t xy . .
НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Выделим из элемента͵ изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy . Положение наклонной площадки и связанных с ней осей x 1 , y 1 зададим с помощью угла a, который будем считать положительным при повороте осей против часовой стрелки.
Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2, напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения s x , s y , t xy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA , тогда площади координатных граней найдутся так:
dA x = dA cos a,
dA y = dA sin a.
Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x 1 и y 1:
Сократив на общий множитель dA , и выполнив элементарные преобразования, получим
В случае если учесть, что
выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:
На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x 1 ,y 1 . Напряжения на его гранях, нормальных к оси x 1 , определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y 1 , крайне важно вместо угла a подставить значение a + 90°:
Касательные напряжения и в повернутой системе координат x 1 y 1 подчиняются закону парности, т. е.
Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):
ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее - ϶ᴛᴏ площадка, на которой нет напряжений, ᴛ.ᴇ. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис.15.1). Найдем перпендикулярные ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим
Угол a 0 показывает направление нормали к главной площадке, или главное направление , в связи с этим его называют главным углом. Поскольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом p/2 , то угол
a 0 + p/2 – тоже главный угол. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всего имеется три главных площадки, причем все они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество – к примеру, при всестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всех проходящих через точку площадках.
Стоит сказать, что для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла a последовательно значения a 0 и
Здесь учтено, что
Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство
А так же учесть формулу (15.4). Тогда получим
Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений s 1 ,s 2 ,s 3 , учитывая, что s 1 – алгебраически наибольшее, а s 3 – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим
В случае если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь
Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны
НАИБОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В случае если мысленно поворачивать оси x 1 y 1 и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла a нормальное напряжение достигнет максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение будет в данный момент наименьшим.
Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение , рассматривая его как функцию аргумента a:
Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.
Чтобы найти наибольшее по величине касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол a будет теперь отсчитываться от направления s 1 , получат вид:
Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда
sin 2a = ±1 . Их максимальное значение при этом равно
Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГИ МОРА
Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:
Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ :
Индекс “ α “, в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на данный угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R . Изображенная на рис. 15.5 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции принято называть кругом Мора, по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835 – 1918 ᴦ.ᴦ.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τ α в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σ α, τ α ) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам, у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K ’, лежащие на противоположных концах диаметра.
Здесь учтено, что
поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90 0 дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5)
В случае если в качестве исходных площадок выступают главные, ᴛ.ᴇ. известна величина σ 1 и σ 2 , круг Мора легко строится по точкам 1 и 2. Луч, проведённый из центра круга под углом 2a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. При этом, удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом a. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A , будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. В случае если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ - t наносятся изображающие точки K (σ x ,t xy ) и K ’(σ y ,-t xy ), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На рис. 15.7 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K ’A . Луч AM , проведённый из полюса под углом a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку M (σ a ,t a), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы a 0 и a 0 +90 0 . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.
б) Напряжение на грани элемента͵ повёрнутого на 45 0 , найдём по (15.1)
Нормальное напряжение на перпендикулярной площадке
(a = 45 0 +90 0) будет равно
в) Наибольшие касательные напряжения найдём по (15.8)
2. Графическое решение.
Построим круг Мора по изображающим точкам K (160,40) и K ’ (60, -40)
Полюс круга A найдем на пересечении нормалей к исходным площадкам.
Круг пересечёт горизонтальную ось в точках 1 и 2. Точка 1 соответствует главному напряжению σ 1 =174 МПа, точка 2 – значению главного напряжения σ 2 = 46 МПа. Луч, проведенный из полюса A через точки 1 и 2, покажет значение главных углов. Напряжения на площадке, повёрнутой на 45 0 к исходной, равны координатам изображающей точки M , находящейся на пересечении окружности с лучом, проведенным из полюса A под углом 45 0 . Как видим, графическое решение задачи анализа напряжённого состояния совпадает с аналитическим.
При плоском напряженном состоянии в одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю. Совместим эту площадку с плоскостью чертежа и выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (элементарную) треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота (в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа) равна основания призмы представляют собой прямоугольные треугольники (рис. 2.3, а).
Приложим к выделенной призме те же напряжения, которые действовали на нее до выделения ее из тела. В связи с тем, что все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по ее боковым граням можно считать распределенными равномерно и равными напряжениям в площадках, проходящих параллельно ее граням.
Выберем систему координат, совместив оси и у (в плоскости чертежа) с гранями призмы (рис. 2.3, а). Обозначим напряжения, параллельные оси и - оси у.
Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклоненной под углом а к грани, по которой действуют напряжения обозначим
Примем следующее правило знаков. Растягивающее нормальное напряжение положительно, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор стремится вращать призму по часовой стрелке относительно любой точки, лежащей на внутренней нормали к этой грани. Угол а положителен, если грань призмы (по которой действует напряжение ) для совмещения с гранью (по которой действует напряжение ) поворачивается на этот угол против часовой стрелки. На рис. 2.3, а все напряжения, а также угол а положительны.
Умножив каждое из напряжений на площадь грани, по которой оно действует, получим систему сосредоточенных сил Ту и Та, приложенных в центрах тяжести соответствующих граней (рис. 2.3, б):
Эти силы должны удовлетворять всем уравнениям равновесия, так как призма, выделенная из тела, находится в равновесии.
Составим следующие уравнения равновесия:
В уравнение (4.3) силы не входят, так как линии их действия проходят через точку (начало системы координат ).
Подставив в уравнение (4.3) выражения и Ту из равенств (1.3), получим
Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между называется законом парности касательных напряжений.
Из закона парности касательных напряжений следует, что в двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения направлены либо к линии пересечения этих площадок (рис. 3.3, а), либо от нее (рис. 3.3, б).
Подставим в уравнения (2.3) и (3.3) выражения сил из равенств (1.3):
Сократим эти уравнения на , учитывая при этом, что (см. рис. 2.3, а):
Теперь заменим на [см. формулу (5.3)]:
Формулы (6.3) и (7.3) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения в любых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.
Определим по формуле (6.3) сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол а равен а для другой
т. е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то в другой они имеют минимальное значение.
При исследовании напряженного состояния сначала определяют напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку тела.
Если одна из этих площадок оказывается свободной от напряжении, то напряженное состояние является плоским. Бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда, выделенный из тела указанными тремя площадками и тремя другими, им параллельными, показан на рис. 4.3, с. Его принято изображать в виде прямоугольника (или квадрата), представляющего собой проекцию элемента на плоскость, совпадающую с площадкой, свободной от напряжений (рис. 4.3,б). Значения напряжений достаточно указывать на двух взаимно перпендикулярных боковых гранях параллелепипеда.
Если требуется показать напряжения, возникающие не в одной паре взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через данную точку, а в нескольких, то соответствующие прямоугольники (или квадраты) могут изображаться, как это, например, показано на рис. 4.3, в.
По напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках можно вычислить [с помощью формул (6.3) и (7.3)] напряжения в любых площадках; поэтому рисунок (например, 4.3, б, в), на котором показаны эти напряжения, можно рассматривать как изображение напряженного состояния в точке.
Любое напряженное состояние можно рассматривать как сумму нескольких напряженных состояний (принцип наложения напряжений). Так, например, напряженное состояние, показанное на рис. 5.3, а, можно рассматривать как сумму напряженных состояний, изображенных на рис. 5.3, б,в.
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ («ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА»)
Плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями.
1. Все компоненты напряжений не зависят от одной из координат, общей для всех компонент, и остаются постоянными при ее изменении.
2. В плоскостях, нормальных к оси этой координаты:
а) компоненты касательных напряжений равны нулю;
б) нормальное напряжение или равно нулю (плоское напряженное состояние), или равно полусумме двух других нормальных напряжений (плоское деформированное состояние).
Примем за ось, о которой говорилось ранее, ось у. Из предыдущего ясно, что эта ось будет главной, т. е. ее можно обозначить также и индексом 2. При этом , и не зависят от у; вместе с тем и , а следовательно, и и равны нулю.
Для плоского напряженного состояния = 0. Для плоского деформированного состояния (эта особенность плоского деформированного состояния будет доказана далее).
Следует всегда учитывать существенную разницу между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями.
В первом, в направлении третьей оси, нет нормального напряжения, но есть деформация, во втором есть нормальное напряжение, но нет деформации.
Плоское напряженное состояние может быть, например, в пластине, подверженной действию сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине (рис. 3.16). Изменение толщины пластины в этом случае не имеет значения, и толщина ее может быть принята за единицу . Плоским с достаточной точностью можно считать напряженное состояние фланца при вытяжке цилиндрической заготовки из листового материала.
Плоское деформированное состояние может быть принято для участков цилиндрического или призматического тела большой длины, отдаленных от его концов, если тело нагружено силами, не меняющимися по его длине и направленными перпендикулярно образующим. В плоском деформированном состоянии, например, можно считать брус, подвергающийся осадке в направлении его толщины, когда деформацией по длине можно пренебречь.
Все уравнения напряженного состояния для плоской задачи значительно упрощаются и сокращается количество переменных.
Уравнения для плоской задачи можно легко получить из выведенных ранее для объемного напряженного состояния, учитывая, что 
= 0 и принимая = 0, поскольку следует рассматривать наклонные площадки только параллельные оси у, т. е. нормальные к площадкам, свободным от напряжений при плоском напряженном состоянии или свободным от деформаций при плоском деформированном состоянии (рис. 3.17).
В рассматриваемом случае
Обозначая угол (см. рис. 3.17) между нормалью к наклонной площадке и осью (или осью , если напряженное состояние дано в главных осях 1 и 2) через , получаем , откуда .
Учитывая вышесказанное, путем непосредственных подстановок в соответствующие выражения (3.10) и (3.11) для объемного напряженного состояния получим нормальное и касательное напряжения в наклонной площадке (см. рис. 3.17).
Рис.3.15. Плоское напряженное состояние (а), напряжение на наклонной площадке (б)
Нормальное напряжение
Касательное напряжение
. (3.41)
Из выражения (3.41) легко видеть, что имеет максимум при sin 2 = 1, т. е. при = 45°:
. (3.42)
Величину главных напряжений можно выразить через компоненты в произвольных осях, использовав уравнение (3.13), из которого получим
. (3.43)
При этом для плоского напряженного состояния = 0; для плоского деформированного состояния
Зная напряженное состояние в главных осях, легко перейти на любые произвольные координатные оси (рис. 3.18). Пусть новая координатная ось х составляет угол с осью , тогда, рассматривая ее как нормаль к наклонной площадке, имеем для последней по уравнению (3.40)
но для оси напряжение является напряжением , следовательно,
выражение это можно преобразовать так:
(3.44)
Новая ось будет наклонена к оси 1 на угол ( +90°); следовательно, заменяя в предыдущем уравнении на ( + 90°), получим
Напряжение определим из выражения (3.41):
. (3.46)
Обозначая среднее напряжение через , т. е. принимая
, (3.47)
и учтя уравнение (3.42), получим так называемые формулы преобразования, которые выражают компоненты напряжений в функции угла :
(3.48)
При построении диаграммы Мора учтем, что поскольку мы рассматриваем площадки, параллельные оси у (т. е. оси 2), направляющий косинус всегда равен нулю, т. е. угол = 90°. Поэтому все корреспондирующие значения и будут расположены на окружности, определяемой уравнением (3.36 б) при подстановке в него = 0, а именно:
, (3.49)
или с учетом выражений (3.47) и (3.42)
. (3.49а)
Эта окружность представлена на рис. 3.19 и является диаграммой Мора. Координаты какой-нибудь точки Р, расположенной на окружности, определяют корреспондирующие значения и Соединим точку P с точкой .Легко видеть,что отрезки 0 2 Р = ;
Рр= , Ор= ,и, следовательно, sin 
= 
.
Сравнивая полученные выражения с уравнениями (3.48), можно установить, что
Р0 2 А = 2 , Р0 2 А = .
Таким образом, зная положение наклонной площадки, определяемое углом , можно найти значения напряжений и , действующих в этой площадке.
Рис.3.17. Диаграмма Мора
,
то отрезок ОР выражает полное напряжение S.
Если элемент напряженного тела, в наклонной грани которого рассматривают напряжения, вычертить так, чтобы главное напряжение было направлено параллельно оси , то нормаль N, проведенная к этой наклонной грани, а следовательно, и направление напряжения будут параллельны отрезку СР.
Продолжив линию Р0 2 до пересечения с окружностью, в точке Р" получим вторую пару значений и для другой наклонной площадки, у которой " = + 90°, т. е. для площадки, перпендикулярной к первой, с направлением нормали ". Направления нормалей N и N" можно принять соответственно за направления новых осей : и , а напряжения и " - соответственно за координатные напряжения и . Таким образом, можно определить напряженное состояние в произвольных осях без использования формул (3.44)-(3.46). Абсолютные величины напряжений гит" равны между собой по закону парности.
Нетрудно решить и обратную задачу: по заданным напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках , и , т" (где т" = т) найти главные напряжения.
Проводим координатные оси н и (рис. 3.19). Наносим точки Р и Р" с координатами, соответствующими заданным напряжениям , и , . Пересечение отрезка РР" с осью определит центр круга Мора 0 2 с диаметром РР" = 2 31 . Далее, если построить оси N, N" (или, что то же, , ) и повернуть фигуру так, чтобы направления этих осей были параллельны направлениям напряжений и в рассматриваемой точке данного тела, то направления осей и диаграммы будут параллельны направлению главных осей 1 и 2.
Дифференциальное уравнение равновесия для плоской задачи получим из уравнений (3.38), учитывая, что все производные по у равны нулю, а также равны нулю и :
(3.50)
При решении некоторых задач, относящихся к плоским, иногда бывает удобно пользоваться вместо прямоугольных координат полярными, определяя положение точки радиусом-вектором и полярным углом , т. е. углом, который составляет радиус-вектор с осью .
Условия равновесия в полярных координатах легко получить из тех же условий в цилиндрических координатах, приравняв
И учтя, что производные по равны
(3.51)
Частным случаем плоской задачи является такой, когда напряжения не зависят также и от координаты (симметричное относительно оси распределение напряжений). В этом случае обратятся в нуль производные по и напряжения и , а условия равновесия определятся одним дифференциальным уравнением
. (3.52)
Ясно, что напряжения и здесь являются главными.
Такое напряженное состояние можно принять для фланца круглой заготовки при вытяжке без прижима цилиндрического стакана.
Вид напряженного состояния
Напряженное состояние в какой-либо точке деформируемого тела характеризуется тремя главными нормальными напряжениями и направлениями главных осей.
Различают три основных вида напряженного состояния: объемное (трехосное), при котором все три главных напряжения не равны нулю, плоское (двухосное), при котором одно из главных напряжений равно нулю, и линейное (одноосное), при котором только одно главное напряжение отлично от нуля.
Если все нормальные напряжения имеют одинаковый знак, то напряженное состояние называют одноименным, а при напряжениях различного знака - разноименным.
Таким образом существует девять видов напряженного состояния: четыре объемных, три плоских и два линейных (рис.3.18).
Напряженное состояние называют однородным, когда в любой точке деформируемого тела направления главных осей и величины главных нормальных напряжений остаются неизменными.
Вид напряженного состояния влияет на способность металла пластически деформироваться не разрушаясь и на величину внешней силы, которую необходимо приложить для осуществления деформации заданной величины.
Так, например, деформирование в условиях одноименного объемного напряженного состояния требует большего усилия, чем при разноименном напряженном состоянии при прочих равных условиях.
Контрольные вопросы
1.Что такое напряжение? Чем характеризуется напряженное состояние точки, тела в целом?
2.Что выражают индексы в обозначениях компонент тензора напряжения?
3.Приведите правило знаков для компонент тензора напряжений.
4. Запишите формулы Коши для напряжений на наклонных площадках. Что кладется в основу их вывода?
5.Что такое тензор напряжений? Какие компоненты входят в состав тензора напряжений?
6.Как называются собственные векторы и собственные значениям тензора напряжений?
7.Что такое главные напряжения? Сколько их?
8.Приведите правило присвоения индексов главным нормальным напряжениям.
9.Дайте физическое толкование главных нормальных напряжений и главных осей тензора напряжений.
10.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных процессов ОМД - прокатки, волочения, прессования.
11.Что такое инварианты тензора напряжений? Сколько их?
12.В чем состоит механический смысл первого инварианта тензора напряжений?
13.Что называется интенсивностью касательных напряжений?
14..Что такое главные касательные напряжения? Найдите площадки их действия
15..Сколько площадок главных касательных напряжений можно указать в некоторой точке деформируемого тела?
16.Чему равно максимальное касательное напряжение, нормальное напряжение на площадке, по которой оно действует?
17.Что такое осесимметричное напряженное состояние? Приведите примеры.
18.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных процессов ОМД - прокатки, волочения, прессования.
19.Что общего между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями и какая между ними разница? К какому из этих состояний относится простой сдвиг?
20.Приведите известные Вам формулы теории напряжений в главной системе координат
21.Что такое эллипсоид напряжений? Запишите его уравнение и укажите порядок построения. Какой вид имеет эллипсоид напряжений для гидростатического давления, плоского и линейного напряженных состояний?
22. Запишите уравнение для нахождения главных нормальных напряжения и три системы уравнений для нахождения главных осей Т а.
23..Что такое шаровой тензор и девиатор напряжений? Для расчета каких величин используются второй и третий инварианты девиатора напряжений?
24.Покажите, что главные системы координат тензора и девиатора напряжений совпадают.
25.Для чего вводятся в рассмотрение интенсивность напряжений и интенсивность касательных напряжений? Объясните их физический смысл и дайте геометрические интерпретации.
26.Что такое диаграмма Мора? Чему равны радиусы главных окружностей?
27.Как изменится диаграмма Мора при изменении среднего напряжения?
28. Что такое октаидрические напряжения?
29. Сколько характерных площадок можно провести через точку тела, находящегося в напряженном состоянии?
30. Условия равновесия для объемного напряженного состояния в прямоугольных координатах, в цилиндрических и сферических координатах.
31. Уравнения равновесия для плоской задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. I. M.-Л., ГТИ, 1948. 346 с. (33)
2. Павлов И. М. О физической природе тензорных представлений в теории пластичности.– «Известия вузов. Черная металлургия», 1965, №6, с. 100–104.
3. Соколовский В. В. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969. 608 с. (91)
4. Сторожев М. В. и Попов Е. А. Теория обработки металлов давлением. М., «Машиностроение», 1971. 323 с. (99)
5. Тимошенко С. П. Теория упругости. Гостехиздат, 1934. 451 с. (104)
6. Ш о ф м а н Л. А. Основы расчета процесса штамповки и прессования. Машгиз, 1961. (68)
Основы теории упругости
Лекция 4
Плоская задача теории упругости
Слайд 2
В теории упругости имеется большой класс задач, важных в смысле практических приложений и вместе с тем допускающих значительные упрощения математической стороны решения. Упрощение заключается в том, что в этих задачах одну из координатных осей тела, например ось z, можно отбросить и все явления рассматривать происходящими в одной координатной плоскости х0у нагруженного тела. В этом случае напряжения, деформации и перемещения будут являться функциями двух координат – х и у.
Задача, рассматриваемая в двух координатах, называется плоской задачи теории упругости .
Под термином «плоская задача теории упругости » объединяют две физически разные задачи, приводящие к весьма сходным математическим зависимостям:
1) задачу о плоском деформированном состоянии (плоская деформация);
2) задачу о плоском напряжённом состоянии.
Для этих задач чаще всего характерно значительное отличие одного геометрического размера от двух других размеров рассматриваемых тел: большая длина в первом случае и малая толщина во втором случае.
Плоская деформация
Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, нормальной к этой плоскости, т. е.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)
Плоская деформация возникает в длинных призматических или цилиндрических телах с осью, параллельной оси z, вдоль которой по боковой поверхности действует нагрузка, перпендикулярная этой оси и не меняющаяся по величине вдоль неё.
Примером плоской деформации может служить напряжённо-деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине и длинном своде подземного тоннеля (рис. 4.1).
Рисунок – 4.1. Плоская деформация возникает в теле плотины и своде подземного тоннеля
Слайд 3
Подставляя компоненты вектора перемещения (4.1) в формулы Коши (2.14), (2.15), получим:
(4.2)
Отсутствие линейных деформаций в направлении оси z ведёт к появлению нормальных напряжений σ z . Из формулы закона Гука (3.2) для деформации ε z следует, что
откуда получается выражение для напряжения σ z:
(4.3)
Подставляя это соотношение в две первые формулы закона Гука, находим:
(4.4)
Слайд 4
Из анализа формул (4.2) − (4.4) и (3.2) также следует, что
Таким образом, основные уравнения трёхмерной теории упругости в случае плоской деформации значительно упрощаются.
Из трёх дифференциальных уравнений равновесия Навье (2.2) остаются только два уравнения:
(4.5)
а третье обращается в тождество.
Так как на боковой поверхности везде направляющий косинус n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, то из трёх условий на поверхности (2.4) остаются только два уравнения:
(4.6)
где l, m – направляющие косинусы внешней нормали v к поверхности контура;
X, Y, X v , Y v – компоненты объёмных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и у, соответственно.
Слайд 5
Шесть уравнений Коши (2.14), (2.15) сводятся к трём:
(4.7)
Из шести уравнений неразрывности деформаций Сен-Венана (2.17), (2.18) остаётся одно уравнение:
(4.8)
а остальные обращаются в тождества.
Из шести формул закона Гука (3.2), с учётом (4.2), (4.4), остаются три формулы:
В этих соотношениях для традиционного в теории упругости вида записи введены новые упругие постоянные:
Слайд 6
Плоское напряжённое состояние
Плоское напряжённое состояние возникает в том случае, когда длина того же призматического тела мала, по сравнению с двумя другими, размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатной плоскости хОу и не зависят от координаты z . Примером такого тела может служить тонкая пластина толщиной h , нагруженная по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределёнными по её толщине (рис. 4.2).
Рисунок 4.2 – Тонкая пластинка и приложенные к ней нагрузки
В этом случае также возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации. Компоненты тензора напряжений σ z , τ xz , τ yz на обеих плоскостях пластины равны нулю. Так как пластина тонкая, то можно считать, что они равны нулю и внутри пластины. Тогда напряжённое состояние будет определяться только компонентами σ x , σ y , τ xy которые не зависят от координаты z, т. е. не меняются по толщине пластины, а являются функциями только x и y.
Таким образом, в тонкой пластине возникает следующее напряжённое состояние:
Слайд 7
В отношении напряжений плоское напряжённое состояние отличается от плоской деформации условием
Кроме того, из формулы закона Гука (3.2), с учётом (4.10), для линейной деформации ε z получаем, что она не равна нулю:
Следовательно, основания пластины будут искривляться, так как появятся перемещения 
по оси z.
При этих предположениях основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия (4.5), условия на поверхности (4.6), уравнения Коши (4.7) и уравнения неразрывности деформаций (4.8) сохраняют такой же вид в задаче о плоском напряжённом состоянии.
Формулы закона Гука примут следующий вид:
Формулы (4.11) отличаются от формул (4.9) закона Гука для плоской деформации только значениями упругих постоянных: E и E 1 , v и v 1 .
Слайд 8
В обратной форме закон Гука запишется так:
(4.12)
Таким образом, при решении этих двух задач (плоская деформация и плоское напряжённое состояние) можно пользоваться одними и теми же уравнениями и объединять задачи в одну плоскую задачу теории упругости.
В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:
– две компоненты вектора перемещений u и v;
– три компоненты тензора напряжений σ x , σ y , τ xy ;
– три компоненты тензора деформаций ε x , ε y , γ xy .
Для решения задачи используют восемь уравнений:
– два дифференциальных уравнения равновесия (4.5);
– три уравнения Коши (4.7);
– три формулы закона Гука (4.9), или (4.11).
Кроме того, полученные деформации должны подчиняться уравнению неразрывности деформаций (4.8), а на поверхности тела должны выполняться условия равновесия (4.6) между внутренними напряжениями и интенсивностями внешней поверхностной нагрузки X v , Y v .