Лекция
По дисциплине «Инженерная графика»
Раздел. 1 Начертательная геометрия
Составитель: Шагвалеева.Г.Н.
Введение.
Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже. Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.
Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.
Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций .
Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.
Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.
Принятые обозначения.
А, В, С, D, -точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита;
a, b, с, d - линии - строчными буквами латинского алфавита;
p 1 – горизонтальная плоскость проекций,
p 2 – фронтальная плоскость проекций,
p 3 - профильная плоскость проекций,
p 4 , p 5 , ... - дополнительные плоскости проекций.
Плоскости
Оси проекций - строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат - цифрой 0.
Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p 1 с одним штрихом, на p 2 с двумя, на p 3 – с тремя штрихами.
p 1 – А I , В I , C I ,..., a I , b I , ... ,a I , b I ,
p 2 – А II , В II , C II ,..., a II , b II , ... ,a II , b II ,
p 3 – А III , В III , C III ,..., a III , b III , ... ,a III , b III .
Образование проекций.
1 Центральное проецирование .
Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.
π 1 - плоскость проекций
S – центр проецирования
A, B, C - точки в пространстве
A", B", C" - проекции точек на плоскость π"
Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.
2. Параллельное проецирование.
Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.
При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей
Основные свойства ортогонального проецирования
1. Проекция точки - есть точка;
2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);
3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А l ® A" l";
4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;
5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m" ∩ n" = K";
6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А"B": C"D"
7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).
Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.
Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.
Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π 1 называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π 1 (рис.1.5)
Получаемый при этом на плоскости π 1 чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A" однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A" существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A". Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.
Рис. 1.6. Рис.1. 7.
На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.
Совмещая теперь плоскости π 1 и π 2 с построенными в них проекциями поворотом π 1 вокруг оси Х на 90 0 так, чтобы передняя полуплоскость π 1 совпала с нижней полуплоскостью π 2 , получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа . (рис. 1.7).
Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим , то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.
Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:
1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;
2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.
Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.
В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему π 1 (горизонтальная плоскость) π 2 (Фронтальная плоскость) и другие плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная и к π 1 и к π 1, - это профильная плоскость. π 3 . Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей дают ось Х, линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей дают ось У, и линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей – ось Z. (рис.1. 8)
Чтобы получить комплексный чертеж точки необходимо расположить три плоскости в одной, для чего «разрезаем» ось У и совмещаем три основные плоскости проекций в одну (рис.1. 9).
Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)
Расстояние от точки А до плоскости π 3 (А A"") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AY = A"A Z = A X 0 = X
Расстояние от точки А до плоскости π 2 (А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A""A Z = A Y 0 = Y
Расстояние от точки А до плоскости π 1 (А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A""A Y = A Z 0 = Z
Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)
Конкурирующие точки .
Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.
Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B" ближе к наблюдателю, чем A", и на π 2 видимой будет проекция B"" а проекция А"" будет невидимой (рис. 1.12).
Понятие «выше-ниже »
Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А"" ближе к наблюдателю, чем В"", и на π 1 видимой будет проекция А" а проекция В" будет невидимой (рис. 1.13).
1. Метод Монжа. Комплексный чертеж.
ММ. - Метод создания чертежа объекта, использующий ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.
Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д
Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.
Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П1. Проекции элементов
Пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А1, а1, S1 ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).
Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П2. Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А2,
Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:
АА1_|_ П1;AА1 ^П1=A1;
АА2_|_ П2;AА2 ^П2=A2;
Проецирующие лучи АА1 и АА2 взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА1АА2, перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.
Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П1 с фронтальной плоскостью П2 вращением вокруг оси П2/П1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П2/П1. Прямая А1А2, соединяющая горизонтальную А1 и фронтальную А2 проекции точки, называется вертикальной линией связи.
Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.
Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА1 =h) и глубиной f(AA2 =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f. Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.
2.сущность ортогонального проецирования
Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что
Предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами,
Ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям..
Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V -
Вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V -
Фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения
Плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX. Плоскости
Проекций делят пространство на четыре двугранных угла - четверти.
Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.
Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.
Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.
3. проекции точки. Частные положения точки
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для
Определения ее положения в пространстве или на поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью
Прямоугольных декартовых координат х, у и z.
Координату х называют абсциссой, у - ординатой и z - аппликатой. Абсцисса
Х определяет расстояние от данной точки до плоскости W, ордината у - до
Плоскости V и аппликата z - до плоскости H. Приняв для отсчета координат
Точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во
Всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А, заданная
Координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта
Точка А, все координаты которой положительны, находится в первом октанте
Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора
ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k - единичные векторы,
Направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то
ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ,
ОАУ, ОАг - координаты вектора ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной
Прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О
Откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих
Отрезках (Оax , Оay , Оaz), как на ребрах, строят прямоугольный
Параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет
Определять заданную точку А. Легко заметить, что для определения точки А
Достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например Оax , axa1
И a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образуют координатную
Ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей
Координатой точки.
4. проекции прямой. Положения прямых относительно плоскостей проекций
Прямая определяется двумя точками. Следовательно, если имеется план и фасад (совмещённый) двух точек a и b, лежащих на прямой, то прямая a’b" , соединяющая планы точек a и b, будет планом прямой ab и прямая a"b", соединяющая фасады точек a и b, будет фасадом прямой ab. На чертеже 4 изображена прямая ab своими планом и фасадом.
5. взаимное положение прямых линий
Прямая может находиться в плоскости, быть параллельной ей или пересекать плоскость.
6. способы задания плоскости на чертеже
Положение плоскости в пространстве определяется: тремя точками, не лежащими на одной прямой (1), прямой и точкой, взятой вне прямой (2), двумя пересекающимися прямыми (3) , двумя параллельными прямыми (4), геометрической фигурой (5), следами плоскости (6).
7. различные случаи расположения плоскостей относительно плоскостей проекций
Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций (см. рис. 69), называют прямой общего положения. Прямую, параллельную или перпендикулярную одной из плоскостей проекций, называют прямой частного положения.
Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, называют прямыми уровня. Название их зависит от того, какой плоскости они параллельны. Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью и обозначают на чертежах h (рис. 70).
Прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью и обозначают f (рис.71).
Прямую, параллельную профильной плоскости проекций, называют профильной и обозначают р (рис. 72).
У прямой уровня одна проекция параллельна самой прямой и определяет углы наклона этой прямой к двум другим плоскостям проекций.
Параллельность одной из плоскостей проекций определяет расположение двух других проекций прямой уровня:
h2 || П2/П1 ;
h3 _|_ П2/П3 ;
f2 || П2/П1;
f3 _|_ П2/П3 ;
p1 _|_ П2/П1 ;
p2 _|_ П2/П1 ;
Прямые h2 и f1 перпендикулярны вертикальным линиям связи; р1 и р2 располагаются на одной вертикальной линии связи и при двухпроекционном чертеже должны быть определены двумя точками прямой р.
Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими. Эти прямые, будучи перпендикулярными одной плоскости проекций, оказываются параллельными двум другим плоскостям проекций. Поэтому у проецирующих прямых одна проекция превращается в точку, а две другие проекции параллельны самой
Прямой и совпадают на чертеже с направлением линии связи (рис. 73). Различают горизонтально проецирующие прямые (АВ), фронтально проецирующие прямые (CD) и профильно проецирующие прямые (EF).
8. взаимное расположение прямой, точки и плоскости. Главные линии плоскости
Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве:
1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций
2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций
Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций
Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.
Взаимное расположение точки и плоскости
Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.
Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.
9. параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 1. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то на параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть a - плоскость, а - не лежащая в ней прямая и b - прямая в плоскости a, параллельная прямой а. Проведем плоскость b через прямые а и b. Плоскость a и b пересекаются по прямой b. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой b. Но это невозможно, т.к. прямые а и b параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна ей. Теорема доказана.
10. пересечение двух плоскостей
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой линии. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей.
На рис. 122 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся плоскостей £ и 0, причем плоскость Sum частного положения - фронтально проецирующая. Она пересекает линии АВ и АС плоскости 0, данной треугольниками ABC - плоскости общего положения. Точки пересечения 1 и 2 и определяют линию пересечения плоскостей. Соединив их, получаем искомую линию: a(1, 2) = Sum^Q.
Линию пересечения двух плоскостей, занимающих общее положение, можно построить в исходной системе плоскостей проекции. Для этого дважды решают задачу на построение прямой одной плоскости со второй плоскостью. Задачу можно решать в новой системе плоскостей проекции, построив изображение одной из пересекающихся плоскостей как плоскости проецирующей.
На рис. 123, а построена линия пересечения двух треугольников ABC и DEF путем построения точки М пересечения линии АВ с плоскостью DEF и точки N пересечения линии EF с плоскостью АВС:
1) АВ ~ Sum1(Sum1_|_П2), Sum1 ^DEF=l -2(12-22; 11-21), 11-21 ^ А1B1 = М1, M1,M2 || А1A2,М1М2 ^ А2В2 = М2,М(М,М2);
2) EF ~ Sum2(Sum2_|_П2), Sum2 ^ ABC = 3-4(32-42; 31-41),31-41 ^ E1F1= = N1, N1N2 || A1,A2; N1N2^ E2F2 = N2; N(N1,N2);
3) M1 U N1, = M1N1, M2 U N2 = M2N2;
4) ABC^DEF = MN.
После построения определяют видимость пересекающихся плоскостей. На фронтальной плоскости она определена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 5. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций использованы горизонтально конкурирующие точки 6 и 7.
На рис. 123, б эта же линия пересечения построена с помощью дополнительных проекций данных плоскостей на плоскости П4, относительно которой плоскость DEF занимает проецирующее положение. Дополнительные проекции построены из условия, что горизонталь h ? DEF проецируется в точку на плоскости П4 _|_ h. Новые линии связи проведены.через незаменяемые горизонтальные проекции точек А,
В, С, D, E, F параллельно h1, а новая ось проекций П1/П4 _|_ h1. Замеренные на плоскости П2 высоты точек определили их проекции на плоскости П4.
A4B4C4^ D4E4F4 = M4K4, так как А4В4 ^ D4E4F4 = М4 и В4С4 ^ D4E4F4 = = К4. По направлению новых линий связи определяем горизонтальную проекцию линии МК (М1К1). Отмечаем точку пересечения стороны EF c линией МК: E1F1 ^ M1K1 = N1. Точки отрезка NK не имеют общих точек с плоскостью DEF.
Пересекающиеся плоскости в частном случае могут быть перпендикулярными. Для выявления случаев перпендикулярности надо помнить, что если две плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. На рис. 122 дан комплексный чертеж взаимно перпендикулярных пересекающихся плоскостей: одна фронтально проецирующая Sum (Sum2), а вторая - общего положения (ABC) - содержит в себе перпендикуляр АВ к плоскости Sum(AB||П2; A2B2Sum2).
Две плоскости в общем случае могут пересекаться в бесконечности. Тогда имеет место параллельность этих плоскостей. При выявлении этого случая следует учитывать, что у параллельных плоскостей две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис. 91 плоскость S параллельна плоскости Sum2, так как а || с, b || d.
11. параллельность двух плоскостей
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей.
Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Доказательство
Чертеж 2.3.1.
Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a . Аналогично получаем, что c || b , тогда a || b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.
Теорема 2.7.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.
Чертеж 2.3.2.
Доказательство
Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α γ = a , β γ = b . Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b .
Теорема 2.8.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Теорема 2.9.
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.
Чертеж 2.3.3.
Теорема 2.10.
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
Доказательство
Чертеж 2.3.4.
На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B 1 A 1 C 1, причем AB || A 1 B 1 и AC || A 1 C 1. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B 1 A 1 C 1.
Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A 1 B 1 и AC = A 1 C 1. Проведем прямые AA 1, BB 1, CC 1. Четырехугольник ABB 1 A 1 – параллелограмм, так как AB = A 1 B 1 и AB || A 1 B 1, следовательно, AA 1 = BB 1 и AA 1 || BB 1. Аналогично докажем, что AA 1 = CC 1. Отсюда следует, что BB 1 = CC 1 и BB 1 || CC 1, следовательно, CBB 1 C 1 – параллелограмм и CB = C 1 B 1. Теперь утверждаем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1, откуда BAC = B 1 A 1 C 1.
12. способы преобразования чертежа
Преобразование чертежа может быть выполнено способом вращения, способом проецирования на дополнительную плоскость, способом плоскопараллельного переноса и другими. Наиболее часто применяются способ вращения и способ проецирования на дополнительную плоскость.
13. многогранники. Точки на поверхности многогранников
Три варианта определения
Многогранник, точнее трёхмерный многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:
Каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
(связность) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны - рёбрами, а их вершины - вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, т.е. граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, возможны следующие два варианта:
Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
Части плоскости, ограниченные ломаными.
В последнем случае многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков.
Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третье определение.
[править]
Вариации и обобщения
Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности, и обычно называется n-мерный многогранник.
Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер
Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
Сферический многогранник.
14. аксонометрические проекции
Аксонометрическая проекция (греч. άχοπ - «ось» и «метрия») - способ изображения геометрических предметов на чертеже при помощи параллельных проекций.
Предмет с системой координат, к которой он отнесён, проецируют на произвольную плоскость (картинная плоскость аксонометрической проекции) таким образом, чтобы эта плоскость не совпадала с его координатной плоскостью. В этом случае получается две взаимосвязанные проекции одной фигуры на одну плоскость, что позволяет восстановить положение в пространстве, получив наглядное изображение предмета. Так как картинная плоскость не параллельна ни одной из координатных осей, то имеются искажения отрезков по длине параллельных координатным осям. Это искажение может быть равным по всем трём осям - изометрическая проекция, одинаковыми по двум осям - диметрическая проекция и с искажениями разными по всем трём осям - триметрическая проекция.
15. формат. Масштаб. Примеры линий
Масшта́б (нем. Maßstab, букв. «мерная палка»: Maß «мера», Stab «палка») - в общем случае отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.
Понятие наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании - отношение натуральной величины объекта к величине его изображения. Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину,поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее раз. Число, показывающее во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб. Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз.Число, показывающее во сколько раз произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.
Формат бумаги - стандартизованный размер бумажного листа. В разных странах в разное время были приняты в качестве стандартных различные форматы. В настоящее время доминируют две системы: международный стандарт (A4 и сопутствующие) и североамериканская.
1. Сплошная толстая основная - применяется для выполнения линий видимого контура, линий контура сечений. Этой линией вы будете обводить внутреннюю рамку чертежа, графы основной надписи. Толщина сплошной основной линии (S) выбирается в пределах от 0,5 до 1,4 мм.
2. Сплошная тонкая линия предназначается для нанесения размерных и выносных линий, нанесения штриховки, проведения полок линий-выносок, для изображения воображаемых линий перехода одной поверхности в другую. Толщина линии выбирается от S/3 до S/2.
3. Сплошная волнистая линия применяется для изображения линии обрыва, разграничения вида и разреза. Толщина линии от S/3 до S/2. Этот тип линии выполняется от руки.
4. Сплошная тонкая с изломом. Этой линией изображают длинные линии обрыва. Толщина линии от S/3 до S/2.
5. Штриховая линия используется для изображения линий невидимого контура, невидимых линий перехода. Длину штриха выбирают от 2 до 8 мм, расстояние между штрихами от 1 до 2 мм. Толщина линии от S/3 до S/2.
6. Разомкнутая линия предназначается для изображения места секущей плоскости при построении сечений и разрезов. Толщина линии от S до 1,5 S.
7. Штрихпунктирная тонкая линия применяется для изображения осевых и центровых линий. Длина штриха выбирается от 5 до 30 мм, расстояние между штрихами от 3 до 5 мм. Штрихи чередуются с точками. Толщина линии от S/3 до S/2.
При изображении окружности штрихи штрихпунк-тирной линии должны пересекаться в центре окружности, и поэтому линию называют штрихпунктирная центровая, подчеркивая тем самым ее назначение (рис. 31).
Штрихпунктирная (осевая и центровая) линия должна выступать за контуры изображения предметов на 3-5 мм (рис. 31, а). Если необходимо задать центр окружности для отверстия диаметром менее 12 мм, то центровые линии выполняют одним штрихом (рис. 31, б). На рисунке 31 показано нанесение осевых и центровых линий.
8. Штрихпунктирная утолщенная линия применяется для изображения поверхности, подлежащей термообработке или покрытию (в школьном курсе не используется).
9. Штрихпунктирная тонкая линия с двумя точками применяется для изображения линий сгиба на развертках, для изображения частей изделий в крайних или промежуточных положениях. Длина штриха от 5 до 30 мм, расстояние между штрихами от 4 до 6 мм. Толщина линии от S/3 до S/2.
16. виды. Определение. Классификация
Видом называется изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета.
Исходным на чертеже является вид спереди, который называют также главным видом. Если смотреть на предмет слева, под прямым углом к профильной плоскости проекций получают вид слева. Когда смотрят на предмет сверху, перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций получают вид сверху.
Направления, по которым смотрят на деталь, получая тот или иной вид.. Каждый вид занимает на чертеже строго определённое место по отношению к главному виду. Вид слева располагают справа от главного вида и на одном уровне с ним, вид сверху - под главным видом. Нельзя нарушать это правило, располагая виды на произвольных местах без особого обозначения.
Зная правило расположения видов можно представить форму предмета по его плоским изображениям. Для этого нужно сопоставить все виды, данные на чертеже и воссоздать в воображении объёмную форму предмета. Наряду с видами спереди, сверху и слева для изображения предмета могут применяться виды справа, снизу, сзади - все они называются основными. Однако количество видов на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для полного выявления формы и размеров предмета.
17. основной и местный виды
В некоторых случаях на чертеже вместо полного вида можно применить его часть. Это упрощает построение изображения предмета.
Изображение отдельного, ограниченного места поверхности предмета называется местным видом.
Его применяют в том случае, когда требуется показать форму и размеры отдельных элементов детали (фланца, шпоночной канавки и прочее).
Местный вид может быть ограничен линией обрыва, осью симметрии и прочее. Располагают местный вид на свободном поле чертежа или в проекционной связи с другими изображениями. Применение местного вида позволяет уменьшить объём графической работы, сэкономить место на поле чертежа.
Устанавливаются следующие наименования основных видов:
Вид спереди (главный вид) - изображение на фронтальной плоскости
Вид сверху - изображение на горизонтальной плоскости
Вид слева - изображение на профильной плоскости
Вид справа - изображение на профильной плоскости
Вид снизу - изображение на горизонтальной плоскости
Вид сзади - изображение на фронтальной плоскости
18. дополнительный вид
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ВИД - это проекция модели по ребру или линии главного вида. Дополнительный вид создается щелчком на кнопке Дополнительный вид на панели инструментов Виды чертежа и обязательно выравнивается по базовому виду. Опции создания дополнительного вида задаются в диалоговом окне Дополнительный вид:
Название - зона, в которой со
Держатся:
Название - текстовое окно задания обозначения дополнительного вида в соответствии с примененным стандартом оформления. Пользователь может задать новое обозначение для дополнительного вида;
Видимость - флажок, установка которого обеспечивает вывод на чертеж обозначение дополнительного вида.
19. разрез
Разрез - мысленное сечение предмета одной или несколькими плоскостями. На разрезе показываются те детали и их части, которые расположены за секущей плоскостью.
Разрез (архитектурный, фронтальная проекция здания или архитектурной детали, условно рассеченных плоскостью или системой плоскостей) служит для условного изображения на чертеже конфигурации архитектурных деталей, объёмов или внутренних пространств и характеризует форму и конфигурацию сооружения.
Типы разрезов
Разрез простой
Разрез простой на чертеже
1. В зависимости от числа секущих плоскостей разрезы делятся на:
Простой разрез - для формирования используется одна плоскость.
Сложный разрез - для формирования используются две и больше секущих плоскостей.
Ломаный разрез - для формирования используются две (бо́льшее количество используется редко) пересекающиеся плоскости.
Ступенчатый разрез - для формирования используются две и более параллельные плоскости.
2. В зависимости от положения плоскости относительно горизонтальной плоскости проекции разрезы разделяются на:
Горизонтальные - секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекции.
Вертикальные - секущая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции.
Наклонные - секущая плоскость составляет с горизонтальной плоскостью угол, отличный от прямого.
3. В зависимости от положения секущей плоскости относительно основных измерений предмета различают разрезы:
Продольные - секущая плоскость направлена вдоль длины или высоты предмета.
Поперечные - секущая плоскость перпендикулярна к длине или высоте предмета.
4. В зависимости от полноты изображения разрезы бывают:
Полные - секущая плоскость пересекает весь предмет и изображение внутреннего его строения показывается по всему сечению.
Местные - секущая плоскость пересекает только ту часть предмета, в которой требуется показать его внутреннюю форму. Границы местного разреза показываются тонкой сплошной волнистой линией.
20. простой разрез(см 19.)
21.сложный разрез (см. 20)
22. выносные элементы, обозначение
Выносной элемент - это дополнительное отдельное изображение какой-либо части предмета, требующей пояснения в отношении формы, размеров и иных данных.
Выносной элемент вычерчивается в более крупном масштабе с нанесением всех необходимых размеров и вычерчиванием подробностей, которые не могут быть указаны на основном изображении.
Выносной элемент может отличаться от соответствующего изображения и по содержанию, т.е. исходное изображение может быть видом, а выносной элемент разрезом и др.
23. сечение
Сечение - изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета секущей плоскостью. В сечении показывается только то, что находится в секущей плоскости.
Деталь проецируют на плоскость проекций V Затем ее мысленно рассекают секущей плоскостью в том месте, где необходимо уточнить форму изделия. В секущей плоскости получают фигуру сечения. После этого секущую плоскость (вместе с фигурой сечения) мысленно вынимают, поворачивают вокруг вертикальной оси, перемещают параллельно плоскости проекций и совмещают с плоскостью V так, чтобы изображения вида спереди и фигуры сечения не заслоняли друг друга (). Обратите внимание на то, что при таком перемещении секущей плоскости вид спереди находится в проекционной связи с сечением. Полученное изображение фигуры сечения называют сечением, выполненным в проекционной связи.
Секущую плоскость с фигурой сечения допускается перемещать в произвольном направлении, совмещая ее с плоскостью проекций, без учета проекционной связи. Такое сечение называется сечением, выполненным на свободном месте чертежа (рис. 148, в). Сечение можно располагать и на продолжении следа секущей плоскости (Оно называется сечением, выполненным на продолжении следа секущей плоскости.
Если сечение располагается на продолжении следа секущей плоскости, то сечение не обозначается (). Если сечение располагается на свободном месте чертежа, то его обозначают надписью типа «А - А» (
Если секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндрической или фонической поверхности, ограничивающих отверстие или углубление, то их контур на сечении показывают полностью, например изображение углубления конической формы.
При выполнении различных изображений предмета ГОСТ 2.305-68 рекомендует применять некоторые условности и упрощения, которые, сохраняя ясность и наглядность изображения, сокращают объем графических работ.
Если вид, разрез или сечение являются фигурами симметричными, то можно вычерчивать только половину изображения или немного более половины изображения, ограничивая его волнистой линией
Допускается упрощение изображать линии среза и линии перехода; вместо лекальных кривых проводят дуги окружности и прямые линии а плавный переход от одной поверхности к другой показывать условно (или совсем не показывать (
Допускается незначительную конусность или уклон изображать увеличенным. На тех изображениях, где уклон или конусность отчетливо не выявляется, проводят только одну линию, соответствующую меньшему размеру элемента с уклоном (, а) или меньшему основанию конуса (
При выполнении разрезов показывают нерассеченными непустотелые валы, рукоятки, винты, шпонки, заклепки. Шарики всегда изображают нерассеченными.
Такие элементы, как спицы, тонкие стенки, ребра жесткости, показывают в разрезе незаштрихованными, если секущая плоскость направлена вдоль оси или длинной стороны такого элемента (. Если в подобных элементах имеется отверстие или углубление, то делают местный разрез (
Отверстия, расположенные на круглом фланце и не попадающие в секущую плоскость, показывают в разрезе так, словно они находятся в секущей плоскости
Для сокращения количества изображений допускается часть предмета, расположенную между наблюдателем и секущей плоскостью, изображать штрихпунктирной утолщенной линией (). Более подробно правила изображения предметов изложены в ГОСТ 2.305-68.
25. эскиз
Эски́з (фр. esquisse) - предварительный набросок, фиксирующий замысел художественного произведения, сооружения, механизма или отдельной его части. Эскиз - быстро выполненный свободный рисунок, не предполагаемый как готовая работа, часто состоит из множества перекрывающих линий.
Эскизы недороги и позволяют художнику сделать наброски и попробовать другие идеи, прежде чем воплощать их в живописи. Карандаш или пастель более предпочтительны для эскизов из-за ограничений во времени, но быстро сделанный набросок акварели или даже быстро смоделированный макет из глины или мягкого воска может также считаться эскизом в более широком значении слова. Графитные карандаши сравнительно новое изобретение, художники Ренессанса делали эскизы, используя серебряное перо на специально подготовленной бумаге.
Вопреки популярному убеждению, художники часто используют ластики при рисунке. Стирательная резинка может применяться для удаления линий построения, или для смягчения слишком резких линий.
26. деталирование
Изготовление деталей, входящих в изделие, ведётся по рабочим чертежам, которые составляются по сборочному чертежу. Вычерчивание рабочих чертежей по сборочному чертежу называют деталированием.
Прежде чем приступить к деталированию, нужно внимательно изучить сборочный чертёж, найти детали во всех проекциях, понять, как они соединяются между собой и какую роль выполняют в изделии. Перед деталированием необходимо решить вопрос, в. скольких проекциях и в каком масштабе должна быть вычерчена каждая деталь, и на основании габаритных размеров детали установить, на каком формате бумаги можно её вычертить. При деталировании желательно, чтобы детали были вычерчены в натуральную величину, т. е. в масштабе 1: 1. Крупные детали вычерчиваются в уменьшенном масштабе. Мелкие детали в некоторых случаях следует вычерчивать даже в увеличенном против натуры масштабе, чтобы выполненный чертёж можно было легко прочитать. Когда будет решён вопрос о формате для каждой отдельной детали, нужно установить общее количество листов формата а1, потребных для деталирования. Разбивка листа бумаги должна производиться не отвлечённо, а с учётом форматов, необходимых для каждой детали. Поэтому лист а1 может содержать все форматы,начиная от a2 для крупных деталей до а5 для мелких деталей. На каждом формате, предназначенном для изображения детали, должна быть помещена основная надпись (штамп) по ГОСТ.
На чертежах тех деталей, которые обрабатываются совместно с другими деталями не при сборке, должны быть даны соответствующие указания, например: Расточить совместно с дет. 15.
Если в окончательно изготовленных деталях требуется сохранение центровых гнёзд, то последние изображаются на чертеже по ОСТ 3725.
Если же в окончательно изготовленных деталях не должно быть центровых гнёзд, то на чертеже это указывается надписью: Центровые гнёзда не допускаются.
Если конструктивно безразлично, должны или не должны быть оставлены центровые гнёзда, то на чертеже детали они не изображаются и никакими примечаниями не оговариваются.
На рабочих чертежах деталей размеры, определяющие расположение сопрягаемых поверхностей, должны быть проставлены, как правило, от конструктивных баз, с учётом возможности их соблюдения и контроля
Проставлять размеры на чертежах в виде замкнутой цепочки или вводить повторяющиеся размеры не допускается.
Размеры, относящиеся к одному и тому же элементу детали (канавке, углублению и т. п.), рекомендуется группировать на одной проекции, отдавая преимущество проекции, на которой данный элемент изображён наиболее ясно.
При деталировании сборочного чертежа могут быть два случая:
1) если количество деталей данной сборочной единицы невелико, то чертежи деталей помещают на одном листе со сборочным чертежом. Сборочный чертёж в этом случае вычерчивают справа в нижней половине листа;
2) если изделие состоит из большого числа деталей, то чертежи их помещают на отдельном листе или на нескольких листах.
При деталировании сборочных чертежей в первую очередь следует вычерчивать основную деталь, например корпус, так как с размерами основной детали связаны размеры сопряжённых с ней деталей, а также выбор и назначение посадок и знаков чистоты обработки поверхностей. Это важно ещё и потому, что размеры всех деталей должны быть взаимно увязаны. Например, если две детали скреплены между собою болтами, то в соединяемых деталях должны быть одинаковыми расстояние между осями отверстий для болтов и диаметры отверстий, через которые проходят болты.
Рабочий чертёж, кроме изображения детали, должен содержать также и необходимые для её изготовления и контроля размеры, допуски, обозначения чистоты поверхности, данные о материале, термообработке, отделке и другие технические требования к готовой детали, если последние не включены в технические условия.
Независимо от принятого масштаба, на рабочих чертежах деталей проставляются только действительные размеры.
Размеры сопряжённых элементов детали должны быть снабжены допусками и посадками. Должны быть также проставлены допуски на линейные размеры, расстояния между отверстиями и т. п. Исключение составляют размеры, определяющие зоны различной степени чистоты обработки одной и той же поверхности, зоны термообработки, отделки, размеры неответственных фасок и радиусов скруглений и т. п., которые могут проставляться без допусков.
П p и м e ч а н и я. 1. Допускается не проставлять непосредственно у размеров, а оговаривать соответствующей общей надписью на свободном поле чертежа отдельные, имеющие широкое применение категории допусков, например: допуски на свободные размеры, допуски на размеры литых необработанных элементов детали и др. При этом ссылки на заводские или ведомственные нормали не допускаются.
2. Свободными называются размеры, не входящие в размерные цепи и не влияющие непосредственно на характер соединения деталей (
Если в деталях, изготовляемых из листового, катаного, калиброванного или других разновидностей стандартных профилей материала, отдельные части не подвергаются обработке, то размеры, как правило, проставляются без допусков.
В отдельных случаях, когда конструктивные условия требуют простановки этих допусков, такие размеры проставляются с теми допусками, которые установлены соответствующими стандартами или техническими условиями на применяемые профили материалов.
Если потребная точность или другие эксплоатационные качества соединения достигаются подбором, пригонкой и т. п., то необходимо в чертежах давать указания относительно характера сопряжений, метода их обеспечения и способа контроля.
При нанесении знаков чистоты обработки по ГОСТ 2789-45 не следует указывать повышенной чистоты обработки, где это не требуется, чтобы не удорожать изготовление детали.
Если поверхности детали должны быть обработаны одинаково, то на чертеже пишется: кругом с указанием степени чистоты обработки условными знаками (
При вычерчивании нужно показать разрезы детали, если в этом есть необходимость, а в некоторых случаях и сечения отдельных мест. Они внесут ясность в очертания детали.
27. резьба
Резьба́ - равномерно расположенные выступы или впадины постоянного сечения, образованные на боковой цилиндрической или конической поверхности по винтовой линии с постоянным шагом. Является основным элементом резьбового соединения, винтовой передачи и червяка зубчато-винтовой передачи.
Классификация и основные признаки резьб
Единица измерения шага (метрическая, дюймовая, модульная, питчевая резьба)
Расположение на поверхности (внешняя и внутренняя резьба)
Направление движения винтовой поверхности (правая, левая);
Число заходов (одно- и многозаходная), например двузаходная, трёхзаходная и т. д.;
Профиль (треугольный, трапецеидальный, прямоугольный, круглый и др.);
Образующая поверхность на которой расположена резьба (цилиндрическая резьба и коническая резьба);
Назначение (крепёжная, крепёжно-уплотнительная, ходовая и др.).
28.обозначение резьбы
Сущность этого метода заключается в следующем: положение точек линий плоских фигур поверхностей в пространстве не изменяется а система П1 П2 заменяется дополняется плоскостями образующими с П1 или П2 или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей принимаемых за плоскости проекций. Если введение одной плоскости П4 или П5 не позволяет решить задачу то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми П6 П7 и т. показано преобразование проекций точки А из системы П2 П1 в систему П4...
Поделитесь работой в социальных сетях
Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск
Лекция 7
Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)
7.1. Четыре основных задачи на преобразование
При разработке чертежей объектов необходимо давать наиболее выгодное изображение объекта в целом или его исследуемых элементов. Этого можно достичь, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) геометрических тел находятся в частном положении, чего можно достигнуть путем построения новых дополнительных проекций, исходя из двух заданных. Эти дополнительные проекции дают либо вырожденные проекции отдельных элементов, либо эти элементы в натуральную величину. Так вот построение дополнительных проекций называют преобразованием эпюра (чертежа).
Четыре основных задачи на преобразования.
- Определение величины отрезка АВ общего положения;
- Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующее положение;
- Приведение плоской фигуры общего положение в проецирующее положение;
- Определение натурального вида плоской фигуры.
Кроме указанных выше задач указанным методом можно определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Преобразование эпюра может быть выполнено следующими методами:
- заменой плоскостей проекций;
- плоскопараллельным перемещением;
- вращением вокруг линий уровня;
- совмещением.
Рассмотрим эти методы подробно.
7.2. Метод замены (перемены) плоскостей проекций
Этот метод широко применяют во всех отраслях машиностроения и приборостроения. Сущность этого метода заключается в следующем: положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве не изменяется, а система П 1 /П 2 заменяется (дополняется) плоскостями, образующими с П 1 или П 2 (или между собой) системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение наиболее удобное для выполнения требуемого построения.
В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей поставленную задачу, бывает достаточно ввести (заменить) только одну плоскость, например П 4 ^ П 1 или П 5 ^ П 2 при этом плоскость П 4 окажется горизонтально-проецирующей, а плоскость П 5 фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости П 4 или П 5 не позволяет решить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми (П 6 , П 7 и т.д.).
На рис. 4.1. показано преобразование проекций точки А из системы П 2 /П 1 в систему П 4 /П 1 , в которой вместо плоскости П 2 введена новая плоскость П 4 , а плоскость П 1 осталась неизменной. При этом плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1 . В системе П 4 /П 1 горизонтальная проекция А 1 точки А осталась неизменной.
Рис. 7.1
Проекция А 4 точки А на плоскость П 4 находиться на плоскости П 1 на том же расстоянии (!!!), что и проекция А 2 точки А на плоскость П 2 . это условие позволяет легко строить проекцию точки на новой плоскости проекций (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Для этого в новой системе (П 1 /П 4 ) из проекции точки (А 1 ) на сохраняющейся плоскости проекций проводят линию связи, перпендикулярную новой оси проекций (П 4 /П 1 ). На этой линии связи отмечают расстояние от оси П 4 /П 1 до проекции А 4 точки А на новой плоскости проекций П 4 , равное расстоянию от преобразуемой проекции А 2 точки до оси П 2 /П 1 | А 4 *2 | = | А 2 *1 | .
При введении новой плоскости проекций, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (например, плоскости П 4 на рис. 7.3), расстояние от проекции (В 4 ) точки В до новой оси проекций (П 4 /П 2 ) равно расстоянию от горизонтальной проекции (В 1 ) до оси П 2 /П 1 | В 1 *1 | = | В 4 *2 | .
Рис. 7.3
В дальнейшем при введении новой плоскости проекций ось проекций можно обозначать в виде дроби, черта которой лежит на оси; каждую букву при этом пишут как бы на «своей» плоскости.
Определение длины отрезка АВ общего положения (рис. 7.4)
Заменим плоскость П 2 на П 4 ½½ АВ (ось П 1 /П 4 ½½ А 1 В 1 ). Расстояния от оси П 1 /П 4 до А 4 и В 4 равны расстояниям от А 2 и В 2 до оси П 2 /П 1 соответственно | А 4 *2 | = | А 2 *1 | . Одновременно с определением действительной величины отрезка АВ определена величина a угла наклона к плоскости П 1 .
Рис. 7.4
Приведение отрезка прямой АВ общего положения в проецирующее положение (в продолжение предыдущего примера).
На том же рис. 7.4 новая система плоскостей проекций П 4 /П 1 относительно отрезка АВ находиться в частном положении (П 4 ½½ АВ). Введем еще одну плоскость проекций П 5 ^ П 4 и отрезку АВ (ось проекций П 4 /П 5 ^ А 4 В 4 ). Относительно этой плоскости проекций П 5 отрезок АВ занимает проецирующее положение (А 5 = В 5 , | А 1 *2 | = | А 5 *3 | ).
Необходимо заметить, что для преобразования эпюра отрезка общего положения в проецирующее требуется введение двух новых плоскостей проекции последовательно, первой параллельно отрезку, второй перпендикулярно ему. При этом должны выполняться условия перпендикулярности исходных и новых плоскостей проекций, а также сохранения координат проекций точек на заменяемых плоскостях проекций.
Приведение плоской фигуры общего положения в проецирующее положение, а также определение её натуральной величины .
На первом этапе задачу решают с помощью одной из линий уровня, например, горизонтали с проекциями А 2 F 2 , A 1 F 1 (рис. 7.5). Новая плоскость проекций П 4 в этом случае выбрана перпендикулярно горизонтали AF (ось П 1 /П 4 ^ A 1 F 1 ) и соответственно перпендикулярно плоскости П 1 .
Рис. 7.5
Откладывая на линиях связи от оси П 1 /П 4 координаты вершин А, В, и С с плоскости П 2 на плоскость П 4 , получим проекции указанных вершин (А 4 , В 4 и С 4 ), которые будут расположены на одной линии (т.е. плоскость D АВС ^ П 4 ).
На втором этапе решения задачи (определить натуральную величину треугольника АВС) вводим новую плоскость проекций П 5 ^ П 4 и параллельно плоскости треугольника АВС (т.е. его проекции А 4 В 4 С 4 ). Проведя линии связи от А 4 , В 4 и С 4 перпендикулярно оси П 4 /П 5 и отложив на них от этой оси координаты вершин А, В и С с горизонтальной проекции треугольника АВС на плоскости П 5 (А 5 , В 5 и С 5 ), получим натуральную величину треугольника АВС и углов при его вершинах.
Определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.
Это расстояние выражается длиной общего перпендикуляра MN к заданным прямым АВ и С D . (рис. 7.6)
Рис. 7.6
Для решения этой задачи необходимо, чтобы одна из этих прямых располагалась перпендикулярно плоскости проекций. Для этого необходимо последовательно ввести две новые плоскости проекций (П 4 и П 5 ) для превращения одной из прямых (например АВ) сначала в линию уровня (с помощью плоскости П 4 ), а затем в проецирующую (с помощью плоскости П 5 ), после чего опустить перпендикуляр из проекции слившихся в одну точек А и В (А 5 = В 5 ) на проекцию С 5 D 5 (M 5 N 5 действительно искомое расстояние).
7.3. Метод плоско-параллельного перемещения
Этот метод является разновидностью метода вращения. Как известно, при вращении некоторой точки вокруг своей оси она описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис.7.7).
Метод предусматривает построение дополнительных чертежей предмета вращением этого предмета вокруг оси в неизменной основной системе плоскостей проекций. Он широко используется в технике при рассмотрении и исследовании различных вращающихся форм конструкций механизмов и машин.
Одним из приложений метода в инженерной практике является исследование траекторий точек вращающихся элементов конструкций. На рис. 7.7 представлена схема вращения точки А вокруг оси MN .
Рис. 7.7
В качестве оси вращения обычно используют прямые перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций. На рис. 7.8 изображен эпюр вращения точки А вокруг оси MN ^ П 1 .
Плоскость вращения Т ½½ П 1 и на фронтальной проекции изображена следом Т 2 . Горизонтальная проекция О 1 центра вращения О совпадает с проекцией M 1 N 1 оси, а горизонтальная проекция О 1 А 1 радиуса вращения ОА является его натуральной величиной. Поворот точки А на рис. 4.8 произведен на угол j против часовой стрелки так, чтобы в новом положении точки с проекциями 2, 1 радиус вращения был параллелен плоскости П 2 . При вращении точки вокруг вертикальной оси её горизонтальная проекция перемещается по окружности, а фронтальная проекция по прямой параллельно оси ОХ.
Рис. 7.8
7.4. Метод вращения вокруг проецирующей прямой
Этот метод применяют при решении некоторых задач, например при определении натуральной величины отрезка прямой. Для этого (рис. 7.9) достаточно ось вращения с проекциями M 2 N 2 , M 1 N 1 выбрать так, чтобы она проходила через одну из крайних точек отрезка, например, точку с проекциями В 1 В 2 . Тогда при повороте точки А на угол j в положение (О ½½ П 2 , О 1 1 ½½ Х) отрезок АВ перемещается в положение АВ ½½ П 2 и, следовательно, проецируется на неё в натуральную величину ([В 2 2 ] = [АВ]). Одновременно в натуральную величину будет проецироваться угол a наклона отрезка АВ к плоскости П 1 .
Рис. 7.9
Следует отметить, что при вращении объекта его проекция на плоскости, перпендикулярной к оси вращения, не изменяет своей формы и размеров. Что же касается другой проекции на плоскости, параллельной оси вращения, то все точки этой проекции (кроме точек на оси вращения) перемещаются па прямым, параллельным оси проекций, и проекция изменяется по форме и по величине. Этим пользуются при методе плоскопараллельного перемещения, не задаваясь изображением оси вращения и не устанавливая радиуса вращения. При этом достаточно, не изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры, переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую проекцию по изложенной выше методике.
На рис. 7.10 произведены построения для определения истинной величины отрезка АВ методом плоскопараллельного перемещения.
Рис. 7.10
7.5 Метод вращения вокруг линии уровня
Этот метод также является разновидностью метода вращения и применяется для определения истинной величины плоских фигур, углов и т.д. Эти задачи решаются при повороте плоской фигуры вокруг одной из её линий уровня (обычно горизонтали или фронтали) до положения, параллельного одной из плоскостей проекций (П 1 или П 2 ).
При вращении какой либо плоской фигуры вокруг её линии уровня необходимо определить истинную величину радиуса вращения для построения проекции совмещения только одной точки; проекции совмещений остальных точек можно построить, не определяя их истинных радиусов вращения, а используя неподвижные точки прямых, на которых находятся эти точки (рис. 7.11). Как указывалось выше, этот метод более целесообразен при решении метрических задач с плоскими фигурами.
Рис. 7.11
7.6. Метод вращения вокруг следов плоскости (совмещение)
При изображении объекта в плоскости, заданной следами, иногда целесообразно использовать метод совмещения этой плоскости с одной из плоскостей проекции.
Этот метод также является частным случаем метода вращения. Осью вращения при этом является один из следов плоскости, а второй её след совмещается с той же плоскостью проекций (рис. 7.12).
Рис. 7.12
Совмещенное положение следа плоскости получают при вращении произвольной точки этого следа в плоскости, перпендикулярной другому следу плоскости.
Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм> |
|||
| 5461. | Основные методы построения и преобразования схем САУ | 2.18 MB | |
| В настоящее время автоматические системы широко применяются во всех областях деятельности человека в промышленности на транспорте в устройствах связи при научных исследованиях и др. Исследование режимов системы автоматического управления. Определение передаточной функции замкнутой системы В качестве исследуемой системы нам была предложена система... | |||
| 9400. | Аффинно - эквивалентные фигуры. Перспективно-аффинные преобразования, сжатие, родство. Аффинные преобразования пространства. Применение аффинных преобразований к решению задач | 138.88 KB | |
| Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его инвариантные точки, то произвольная точка прямой АВ является неподвижной, а любая инвариантная точка преобразования f принадлежит прямой АВ. | |||
| 7819. | Деталирование чертежа | 119.91 KB | |
| Последовательность выполнения деталирования Разработка нового изделия и конструкторской документации на него в общем случае проходит пять стадий установленных в ГОСТ. В составе некоторых проектов на отдельные детали разрабатывают чертежи соответствующие рабочим. В чертеже общего вида должно содержаться такое количество изображений которое достаточно для понимания формы всех входящих в его состав сборочных единиц и отдельных деталей для возможности выполнения чертежа любой детали. | |||
| 6522. | Кручение. Эпюра крутящих моментов | 613.78 KB | |
| В результате в произвольном поперечном сечении стержня из шести силовых факторов возникает только один. Для стержня поперечное сечение которого имеет две оси симметрии за ось кручения естественно принять ось стержня. Как показывают результаты опытов в случае круглого или кольцевого постоянного по длине сечения скручиваемого стержня при определении закона распределения поверхности сил на торцах все поперечные сечения остаются плоскими. Обычно внешние силы действующие на боковую поверхность и по концам стержня приводятся к оси... | |||
| 15259. | Методы, применяемые в анализе синтетических аналогов папаверина и многокомпонентных лекарственных форм на их основе 3.1. Хроматографические методы 3.2. Электрохимические методы 3.3. Фотометрические методы Заключение Список л | 233.66 KB | |
| Дротаверина гидрохлорид. Дротаверина гидрохлорид является синтетическим аналогом папаверина гидрохлорида а с точки зрения химического строения является производным бензилизохинолина. Дротаверина гидрохлорид принадлежит к группе лекарственных средств обладающих спазмолитической активностью спазмолитик миотропного действия и является основным действующим веществом препарата но-шпа. Дротаверина гидрохлорид Фармакопейная статья на дротаверина гидрохлорид представлена в Фармакопее издания. | |||
| 7925. | Методология комплексного ЭА ХД | 9.04 KB | |
| Зависимости объемов выпуска продукции от трудовых факторов выражается следующим образом: Nb = R Tд Тч Дч где Nb объем выпуска продукции R среднесписочное число рабочих Тд число дней отработанных одним рабочим за год Тч среднее число часов отработанных одним рабочим за день Дч средняя выработка продукции на 1 отработанный человекочас. Задача: На основе определить за счет каких факторов произошло изменение сумм взимаемых таможенных платежей Оренбургской таможни. Факторные анализ это процесс комплексного и... | |||
| 2187. | Координаты и преобразования | 74.4 KB | |
| Координаты и преобразования двумерные 2D преобразования 2D преобразования в однородных координатах композиция 2D преобразований 3D координаты проекции стереоизображения преобразования растровых картин. Всюду далее: XYZ декартовые координаты xyz однородные координаты Двумерные преобразования 1. Кроме того векторастолбцы после выполнения преобразования заданного этой матрицей совпадут с осями. Это позволяет сформировать матрицу преобразования если известны его результаты. | |||
| 20605. | Стратегия комплексного продвижения сайта | 1.5 MB | |
| Возникло большое количество совершенно новых медийных форматов: вебинары, инфографика, образовательные онлайн-курсы, gif-анимация и многое другое. Теперь информация чаще всего представляет собой микс различных форматов. Во многих статьях можно найти картинки, таблицы, видео и гипертекстовые ссылки. И самое главное – появилась персонализация. В буквальном смысле теперь каждая статья в интернете пишется для конкретного человека. Любой интернет-пользователь может гибко настраивать свои информационные каналы | |||
| 9051. | Способи перетворення комплексного креслення | 31.78 KB | |
| Розглянути суть способу обертання навколо проекціюючої прямої а також способу заміни площин проекцій. Обертання навколо проекцюючої прямої. Для розв"язання метричних та позиційних задач використовують способи перетворення креслення обертання та зміна площин проекційякі полягають у зміні взаємо розташування геометричного образу та площин проекцій. В результаті обертання геометричний образ займає окреме положення відносно нерухомих площин проекцій. | |||
| 2177. | Трехмерные геометрические преобразования | 39.85 KB | |
| При этом, если смотреть со стороны положительной полуоси в центр координат, то поворот на +90° (против часовой стрелки) переводит одну положительную ось в другую (направление движения расположенного вдоль оси и поворачивающегося против часовой стрелки правого винта и положительной полуоси совпадают). В некоторых, специально оговариваемых случаях, используется левая система координат (см. рис. б). В левой системе координат положительными будут повороты по часовой стрелке | |||
Проекция геометрического объекта на одну плоскость, рассмотренная нами ранее, не дает полного и однозначного представления о форме геометрического объекта. Поэтому рассмотрим проецирование хотя бы на две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.
Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2, а работать неудобно, т.к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость развернуть вокруг оси ОХ на 90° и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. Этот метод предложил Г. Монж.
Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:
а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) плоскостная картина расположения проекций точки А.
Поэтому чертеж, полученный таким образом (рис. 1.2, б), называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.
Обычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортогональную первым двум (рис.1. 3, а).
Рис. 1.3. Построение трехкартинного комплексного чертежа (эпюра Монжа):
а) пространственная модель плоскостей проекций; б) трехкартинный комплексный чертеж.
Тогда плоскость П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П 2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П 3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А 1 - горизонтальная проекция точки А , А 2 - фронтальная проекция точки А, А 3 - профильная проекция точки А .
Оси ОХ, ОY, OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа) необходимо и профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90° вокруг оси OZ , причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис. 1.3, б. Так как ось ОY разворачивается вместе с двумя плоскостями П 1 и П 3 , то на комплексном чертеже ее изображают дважды.
Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.3, а, в математической форме его можно записать в виде: А 1 А x = ОА y = А z А 3 . Следовательно, в текстологическом виде оно звучит так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции указанной точки до оси ОZ . Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фронтальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.
В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свернутую в плоскости модель пространства, на нем нельзя изобразить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее положение совпадает с одной из проекций). Исходя из этого, следует иметь в виду, что на комплексном чертеже мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Инженерная графика» 1 семестр
для студентов заочной формы обучения
полная и сокращенная программы
Волгодонск 2013
1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ... 3
2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ.. 7
3. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ.. 16
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА.. 29
5. ПОВЕРХНОСТИ.. 33
6. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 50
1. Методы ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ
Введение. Цель и задачи курса
В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».
Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.
Методы прямоугольного проецирования на две и три
Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Проекции точки, комплексный чертеж.
Метод Монжа, комплексный чертеж.
Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.
Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".
Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.
В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.