Отображения в пространстве.
Трехмерное вращение.
Сдвиг.
Основы преобразований.
Трехмерное изменение масштаба.
Данное преобразование производит частное изменение масштаба. Общее изменение масштаба получается за счет использования четвертого диагонального элемента.
Не диагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразование размером 4*4 осуществляется сдвиг в трех измерениях, то есть:
В предыдущем случае было показано, что матрица 3*3 обеспечивает комбинацию операций измерения масштаба и сдвига. Однако, если определенная матрица 3*3 = 1, то имеет место чистое вращение около начала координат.
Рассмотрим несколько частных случаев вращения.
При вращение вокруг оси х размеры вдоль оси х не изменяются, таким образом матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце, за исключением единицы на главной диагонали. И будет иметь вид:
Угол Ө - угол вращения вокруг оси х;
Вращение предполагается положительным по часовой стрелке, если смотреть с начала координат вдоль оси вращения.
Для вращения на угол φ около оси Y нули ставят во второй стороне и столбце матрицы преобразования за исключением единицы на главной диагонали.
Матрица имеет вид:
Аналогично матрица преобразований для вращения на угол ψ вокруг оси Z:
Так как вращение описывается умножением матрицы, то трехмерное вращение не коммутативное, то есть порядок умножения будет влиять на конечный результат.
Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного изображения.
Рассмотрим частный случай отображения. Матрица преобразования относительно плоскости XYимеет вид:
И отображение YZ или отображение XZприотображение относительно других плоскостей можно получить путем комбинации вращения и отображения.
Для отображения yz:
Для отображения xz:
Тв.модели
При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.
Поэтому появляется термин – твердотельная модель.
Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.
В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.
Принцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.
Преимущества:
1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.
2. Простота задания геометрического объекта.
Недостатки:
1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.
2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.
Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.
Для описания динамики моделируемых процессов в имитационном моделировании реализован механизм задания модельного времени. Эти механизмы встроены в управляющие программы любой системы моделирования.
Если бы на ЭВМ имитировалось поведение одной компоненты системы, то выполнение действий в имитационной модели можно было бы осуществить последовательно, по пересчету временной координаты. Чтобы обеспечить имитацию параллельных событий реальной системы вводят некоторую глобальную переменную (обеспечивающую синхронизацию всех событий в системе) t0, которую называют модельным (или системным) временем.
Существуют два основных способа изменения t 0 :
- пошаговый (применяются фиксированные интервалы изменения модельного времени);
- no-событийный (применяются переменные интервалы изменения модельного времени, при этом величина шага измеряется интервалом до следующего события).
В случае пошагового метода продвижение времени происходит с минимально возможной постоянной длиной шага (принцип t). Эти алгоритмы не очень эффективны с точки зрения использования машинного времени на их реализацию.
По-событийный метод (принцип "особых состояний"). В нем координаты времени меняются только когда изменяется состояние системы. В по-событийных методах длина шага временного сдвига максимально возможная. Модельное время с текущего момента изменяется до ближайшего момента наступления следующего события. Применение по-событийного метода предпочтительно в случае, если частота наступления событий невелика, тогда большая длина шага позволит ускорить ход модельного времени. На практике по-событийный метод получил наибольшее распространение.
Способ фиксированного шага применяется:
если закон изменения от времени описывается интегро-дифференциальными уравнениями. Характерный пример: решение интегро-дифференциальных уравнений численным методом. В подобных методах шаг моделирования равен шагу интегрирования. При их использовании динамика модели является дискретным приближением реальных непрерывных процессов; когда события распределены равномерно и можно подобрать шаг изменения временной координаты; когда сложно предсказать появление определенных событий; когда событий очень много и они появляются группами.
В остальных случаях применяется по-событийный метод. Он предпочтителен, когда события распределены неравномерно на временной оси и появляются через значительные временные интервалы.
Таким образом, вследствие последовательного характера обработки информации в ЭВМ, параллельные процессы, происходящие в модели, преобразуются с помощью рассмотренного механизма в последовательные. Такой способ представления носит название квазипараллельного процесса.
Простейшая классификация на основные виды имитационных моделей связана с применением двух этих способов продвижения модельного времени. Различают имитационные модели:
Непрерывные;
Дискретные;
Непрерывно-дискретные.
В непрерывных имитационных моделях переменные изменяются непрерывно, состояние моделируемой системы меняется как непрерывная функция времени, и, как правило, это изменение описывается системами дифференциальных уравнений. Соответственно продвижение модельного времени зависит от численных методов решения дифференциальных уравнений.
В дискретных имитационных моделях переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени (наступления событий). Динамика дискретных моделей представляет собой процесс перехода от момента наступления очередного события к моменту наступления следующего события.
Поскольку в реальных системах непрерывные и дискретные процессы часто невозможно разделить, были разработаны непрерывно-дискретные модели, в которых совмещаются механизмы продвижения времени, характерные для этих двух процессов.
Аннотация: Первая тема имеет вводный, в основном, терминологический характер. Подробно раскрываются понятия модели и моделирования, их назначение как основного, а подчас, и единственного метода анализа и синтеза сложных систем и процессов. Дается обзор классификации моделей и моделирования, в некоторой мере упрощенный, но достаточный для полного уяснения сущности моделирования как вообще, так и математического в частности.
Сам по себе процесс моделирования в полной мере не формализован, большая роль в этом принадлежит опыту инженера. Но, тем не менее, рассматриваемый в теме процесс создания модели в виде шести этапов может стать основой для начинающих и с накоплением опыта может быть индивидуализирован.
Математическая модель , являясь абстрактным образом моделируемого объекта или процесса, не может быть его полным аналогом. Достаточно сходства в тех элементах, которые определяют цель исследования. Для качественной оценки сходства вводится понятие адекватности модели объекту и, в связи с этим, раскрываются понятия изоморфизма и изофункционализма. Формальных приемов, позволяющих автоматически, "бездумно", создавать адекватные математические модели, нет. Окончательное суждение об адекватности модели дает практика, то есть сопоставление модели с действующим объектом. И, тем не менее, усвоение всех последующих тем пособия позволит инженеру справляться с проблемой обеспечения адекватности моделей.
Завершается тема изложением требований к моделям, которые были сформулированы Р. Шенноном на заре компьютерного моделирования тридцать лет назад в книге " Имитационное моделирование систем - искусство и наука". Актуальность этих требований сохраняется и в настоящее время.
1.1. Общее определение модели
Практика свидетельствует: самое лучшее средство для определения свойств объекта - натурный эксперимент , т. е. исследование свойств и поведения самого объекта в нужных условиях. Дело в том, что при проектировании невозможно учесть многие факторы, расчет ведется по усредненным справочным данным, используются новые, недостаточно проверенные элементы (прогресс нетерпелив!), меняются условия внешней среды и многое другое. Поэтому натурный эксперимент - необходимое звено исследования. Неточность расчетов компенсируется увеличением объема натурных экспериментов, созданием ряда опытных образцов и "доводкой" изделия до нужного состояния. Так поступали и поступают при создании, например, телевизора или радиостанции нового образца.
Однако во многих случаях натурный эксперимент невозможен.
Например, наиболее полную оценку новому виду вооружения и способам его применения может дать война. Но не будет ли это слишком поздно?
Натурный эксперимент с новой конструкцией самолета может вызвать гибель экипажа.
Натурное исследование нового лекарства опасно для жизни человека.
Натурный эксперимент с элементами космических станций также может вызвать гибель людей.
Время подготовки натурного эксперимента и проведение мероприятий по обеспечению безопасности часто значительно превосходят время самого эксперимента. Многие испытания, близкие к граничным условиям, могут протекать настолько бурно, что возможны аварии и разрушения части или всего объекта.
Из сказанного следует, что натурный эксперимент необходим, но в то же время невозможен либо нецелесообразен.
Выход из этого противоречия есть и называется он " моделирование ".
Моделирование - это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала.
Отсюда следует.
Моделирование - это, во-первых, процесс создания или отыскания в природе объекта, который в некотором смысле может заменить исследуемый объект . Этот промежуточный объект называется моделью . Модель может быть материальным объектом той же или иной природы по отношению к изучаемому объекту (оригиналу). Модель может быть мысленным объектом, воспроизводящим оригинал логическими построениями или математическими формулами и компьютерными программами.
Моделирование , во-вторых, это испытание , исследование модели. То есть, моделирование связано с экспериментом, отличающимся от натурного тем, что в процесс познания включается "промежуточное звено" - модель. Следовательно, модель является одновременно средством эксперимента и объектом эксперимента , заменяющим изучаемый объект .
Моделирование , в-третьих, это перенос полученных на модели сведений на оригинал или, иначе, приписывание свойств модели оригиналу. Чтобы такой перенос был оправдан, между моделью и оригиналом должно быть сходство, подобие .
Подобие может быть физическим, геометрическим, структурным, функциональным и т. д. Степень подобия может быть разной - от тождества во всех аспектах до сходства только в главном. Очевидно, модели не должны воспроизводить полностью все стороны изучаемых объектов. Достижение абсолютной одинаковости сводит моделирование к натурному эксперименту, о возможности или целесообразности которого было уже сказано.
Остановимся на основных целях моделирования .
Прогноз - оценка поведения системы при некотором сочетании ее управляемых и неуправляемых параметров. Прогноз - главная цель моделирования .
Объяснение и лучшее понимание объектов . Здесь чаще других встречаются задачи оптимизации и анализа чувствительности. Оптимизация - это точное определение такого сочетания факторов и их величин, при котором обеспечиваются наилучший показатель качества системы, наилучшее по какому-либо критерию достижение цели моделируемой системой. Анализ чувствительности - выявление из большого числа факторов тех, которые в наибольшей степени влияют на функционирование моделируемой системы. Исходными данными при этом являются результаты экспериментов с моделью.
Часто модель создается для применения в качестве средства обучения : модели-тренажеры, стенды, учения, деловые игры и т. п.
Моделирование как метод познания применялось человечеством - осознанно или интуитивно - всегда. На стенах древних храмов предков южно-американских индейцев обнаружены графические модели мироздания. Учение о моделировании возникло в средние века. Выдающаяся роль в этом принадлежит Леонардо да Винчи (1452-1519).
Гениальный полководец А. В. Суворов перед атакой крепости Измаил тренировал солдат на модели измаильской крепостной стены, построенной специально в тылу.
Наш знаменитый механик-самоучка И. П. Кулибин (1735-1818) создал модель одноарочного деревянного моста через р. Неву, а также ряд металлических моделей мостов. Они были полностью технически обоснованы и получили высокую оценку российскими академиками Л. Эйлером и Д. Бернулли. К сожалению, ни один из этих мостов не был построен.
Огромный вклад в укрепление обороноспособности нашей страны внесли работы по моделированию взрыва - генерал-инженер Н. Л. Кирпичев, моделированию в авиастроении - М. В. Келдыш, С. В. Ильюшин, А. Н. Туполев и др., моделированию ядерного взрыва - И. В. Курчатов, А.Д. Сахаров, Ю. Б. Харитон и др.
Широко известны работы Н. Н. Моисеева по моделированию систем управления. В частности, для проверки одного нового метода математического моделирования была создана математическая модель Синопского сражения - последнего сражения эпохи парусного флота. В 1833 году адмирал П. С. Нахимов разгромил главные силы турецкого флота. Моделирование на вычислительной машине показало, что Нахимов действовал практически безошибочно. Он настолько верно расставил свои корабли и нанес первый удар, что единственное спасение турок было отступление. Иного выхода у них не было. Они не отступили и были разгромлены.
Сложность и громоздкость технических объектов, которые могут изучаться методами моделирования, практически неограниченны. В последние годы все крупные сооружения исследовались на моделях - плотины, каналы, Братская и Красноярская ГЭС, системы дальних электропередач, образцы военных систем и др. объекты.
Поучительный пример недооценки моделирования - гибель английского броненосца "Кэптен" в 1870 году. В стремлении еще больше увеличить свое тогдашнее морское могущество и подкрепить империалистические устремления в Англии был разработан суперброненосец "Кэптен". В него было вложено все, что нужно для "верховной власти" на море: тяжелая артиллерия во вращающихся башнях, мощная бортовая броня, усиленное парусное оснащение и очень низкими бортами - для меньшей уязвимости от снарядов противника. Консультант инженер Рид построил математическую модель устойчивости "Кэптена" и показал, что даже при незначительном ветре и волнении ему грозит опрокидывание. Но лорды Адмиралтейства настояли на строительстве корабля. На первом же учении после спуска на воду налетевший шквал перевернул броненосец. Погибли 523 моряка. В Лондоне на стене одного из соборов прикреплена бронзовая плита, напоминающая об этом событии и, добавим мы, о тупоумии самоуверенных лордов Британского Адмиралтейства, пренебрегших результатами моделирования.
1.2. Классификация моделей и моделирования
Каждая модель создается для конкретной цели и, следовательно, уникальна. Однако наличие общих черт позволяет сгруппировать все их многообразие в отдельные классы, что облегчает их разработку и изучение. В теории рассматривается много признаков классификации, и их количество не установилось. Тем не менее, наиболее актуальны следующие признаки классификации :
- характер моделируемой стороны объекта;
- характер процессов, протекающих в объекте;
- способ реализации модели.
Таблица 1.3. Календарь событий
Таблица 6.1. Ручная имитация работы банковского кассира.
| Время | № клиента | Событие | Состояние СМО | |
| Число клиентов | Состояние кассира | |||
| 0,0 | - | - | Свободен | |
| 3,2 | Приход | Занят | ||
| 7,0 | Уход | Свободен | ||
| 10,9 | Приход | Занят | ||
| 13,2 | Приход | Занят | ||
| 14,4 | Уход | Занят | ||
| 14,8 | Приход | Занят | ||
| 17,7 | Приход | Занят | ||
| 18,6 | Уход | Занят | ||
| 19,8 | Приход | Занят | ||
| 21,5 | Приход | Занят | ||
| 21,7 | Уход | Занят | ||
| 24,1 | Уход | Занят | ||
| 26,3 | Приход | Занят | ||
| 28,4 | Уход | Занят | ||
| 31,1 | Уход | Занят | ||
| 32,1 | Приход | Занят | ||
| 32,2 | Уход | Занят | ||
| 35,7 | Уход | Свободен | ||
| 36,6 | Приход | Занят | ||
| 40,0 | Уход | Свободен |
Логика обработки событий прибытия и ухода клиента зависит от состояния системы в момент наступления этих событий.
При наступлении события "прибытие клиента" дальнейшая ситуация определяется состоянием кассира. Если кассир свободен, он переходит в состояние занят и приступает к обслуживанию клиента. При этом планируется событие "уход данного клиента" в момент времени, равный текущему времени плюс продолжительность его обслуживания. Если же кассир занят, обслуживание клиента не может начаться и, следовательно, он встает в очередь (длина очереди увеличивается на единицу). Логика обработки события "уход клиента" зависит от длины очереди. Если в очереди есть хотя бы один клиент, кассир остается в состоянии "занят", длина очереди уменьшается на 1 и для первого клиента из очереди планируется событие ухода. Если же очередь пуста, кассир переводится в состояние "свободен".
На рис.6.2 приведены графики изменения значений этих переменных состояния во времени.
Результаты имитации показывают, что в течение первых 40 минут работы в банке в среднем находилось одновременно 1,4525 клиента , а кассир был свободен 20% времени.
Для расположения событий в хронологическом порядке необходимо вести запись событий, подлежащих последующей обработке (будущих событий). Это осуществляется путем записи в список моментов наступления следующего события прихода и следующего события ухода. Сравнение этих моментов определяет затем выбор одного из событий для обработки. Такой упорядоченный список событий обычно называется календарем событий .
| Событие | Приход | Уход | Приход | Приход | Уход | Приход | Приход |
| Время свершения | 3,2 | 7,0 | 10,9 | 13,2 | 14,4 | 14,8 | 17,7 |
Модели систем классифицируются на дискретно и непрерывно изменяющиеся. Отметим, что термины эти относятся к модели, а не к реальной системе. Практически одну и ту же систему можно представить в виде дискретно изменяющейся модели, либо непрерывно изменяющейся.
Как правило, в имитационном моделировании время является основной независимой переменной. Другие переменные, включенные в имитационную модель, являются функциями времени, то есть зависимыми переменными. Термины дискретная и непрерывная относятся к поведению зависимых переменных.
При дискретной имитации зависимые переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени, называемые моментами совершения событий .
Переменная времени в имитационной модели может быть либо дискретной , либо непрерывной в зависимости от того, могут ли дискретные изменения зависимых переменных происходить в любые моменты времени или только в определенные моменты.
Имитация банковской системы является примером дискретной имитации. Зависимыми переменными в этом примере являются состояние кассира и число ожидающих в очереди клиентов. Моменты совершения событий соответствуют моментам времени, когда клиент прибывает в систему, и моментам времени, когда клиент покидает ее после обслуживания кассиром.
Как правило, в дискретных моделях значения зависимых переменных не изменяются в промежутках между моментами совершения событий. Пример изменения зависимых переменных в дискретной модели приведен на рис. 6.3.
При непрерывной имитации зависимые переменные модели изменяются непрерывно в каждый момент имитационного времени.
Непрерывная модель может быть либо с непрерывным , либо с дискретным временем в зависимости от того, будут ли значения зависимых переменных доступны в любой точке или только в определенные моменты имитационного времени.
Модели процессов в большинстве электрических и механических систем являются примером ситуаций, когда целесообразно использование непрерывного представления. Кроме того, в некоторых случаях полезно моделировать дискретную систему с помощью непрерывного представления. Например, развитие популяций отдельных видов рыб в озере в экологических задачах моделируют с помощью непрерывного представления, хотя в реальности изменение популяции происходит дискретно.
При комбинированной имитации зависимые переменные могут изменяться дискретно, непрерывно или непрерывно с наложенными дискретными скачками . Время изменяется либо дискретно, либо непрерывно.
Наиболее важный аспект комбинированной имитации заключается в возможности взаимодействий между дискретно и непрерывно изменяющимися переменными.
Простейший пример такой модели дает электрическая схема, содержащая тиристор и нагрузочное сопротивление (рис. 6.5.). На графике показано, как непрерывная переменная напряжение на нагрузке изменяется скачком в зависимости от значения дискретной переменной - состояния тиристора (“открыт” или “закрыт”).
Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т. е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т. е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.
Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, y)= Іx-y І. Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, например, линейные: х+у, х-у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (2.1) -(2.3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: , du/dt = ay + bu и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.
Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические - динамические», «дискретные - непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в табл. 1.3, где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.
Пример 1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, «грубом» приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (u 1) и человек без жетона , т.е. U={ u 1 }. После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (u 0), т.е. U ={u 0 , u 1 , }. Множество значений выхода содержит элементы «открыто» (y 0) и «закрыто» (y 1). Таким образом, Y={y 0 , y 1 } и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:
При необходимости хранить ММ системы в ЭВМ ее можно представить (закодировать) в виде матрицы или более экономно, в виде списка (0, 0, 1), в котором на i -м месте стоит j , если значению входа соответствует значение выхода y i .
Пример 2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание пятака и прохождение человека через турникет. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения («есть» или «нет»).
Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и
0 - «нет воздействия», и
1 - «опускание жетона», и
2 - «прохождение». Множество Y
можно задать так же, как и в примере 1. Однако теперь значение выхода y
(t
)не определяется только значением входа и
(t
),а зависит еще и оттого, был ли опущен жетон раньше, т.е. от значений u(s)
при s
x (k+1)=F (x(k), и (k)), y (k) = G (x(k), и (к)), (2.4]
где k - номер момента времени такта. Отметим, что, выделив «текущий» и «следующий» моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным см. ниже п. 2.2.3). Функцию переходов F (х, и)и функцию выходов G (x, и )можно задать таблично:
Можно также построить графы переходов и выходов:
Пример 3. Рассмотрим простейшую электрическую цепь - RС -цепочку (рис. 1.6). Входом системы является напряжение источника u(t )=E 0 (t ), выходом - напряжение на конденсаторе y (t )=E 1 (t ). Закон Ома дает ММ системы в виде дифференциального уравнения 1-го порядка
у=и - у ,(2.5)
где -RC - постоянная времени цепочки. ММ (2.5) полностью непрерывна: U==Y=T=R 1 . Если исследователя интересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E 0 (t )= const, то нужно положить в (2.5) у= 0и получить статическую модель
y (t )=u (t ).(2.6)
Моделью (2.6) можно пользоваться как приближенной в I случае, когда вход E 0 (t )изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с ).
Пример 4. Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций ,существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популяций (видов) y 1 (t ), y 2 (t ). Пусть 2-й вид является пищей для 1-го, т.е. система относится к классу «хищник - жертва» (например, у 1 - численность лис в лесу, а у 2 - численность зайцев; или у 1 - концентрация бактерий-возбудителей заболевания в городе, а у 2 - число заболевших и т.д.). В данном случае у 1 , у 2 - целые числа и, на первый взгляд, в ММ системы множество Y должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что у 1 , у 2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. перейти к непрерывной модели (при достаточно больших у 1 , у 2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных у 1 , у 2 . Простейшая модель динамики популяции получается, если предположить, что:
При отсутствии хищников численность жертв растет экспоненциально;
При отсутствии жертв численность хищников убывает экспоненциально;
Численность «съеденных» жертв пропорциональна величине у 1 , у 2 .
При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки - Вольтерра:
где а, Ь, с, d - положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например, когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.