Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Рубрика (тематическая категория)	Металлы и Сварка

И КЛАССИФИКАЦИЯ СПОСОБОВ БУРЕНИЯ

МЕТОДЫ РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

основным и наиболее широко распространенным методом разрушения горных пород при бурении скважин в настоящее время является механический . При этом методе породоразрушающим инструментом являются буровые долота и коронки. Вращение породоразрушающего инструмента производится несколькими способами: роторный , турбинный и с помощью электробура - всœе эти способы являются разновидностью вращательного метода , при котором образование скважины происходит за счёт непрерывного вращения долота и внедрение его в породу под действием осœевой нагрузки.

Кроме вращательного метода существует ударный метод - здесь скважина образуется за счёт разрушения породы под ударами клинообразного долота. Сочетание вращательного и ударного методов бурения создает комбинированный метод (ударно-вращательный).

Разрушение породы осуществляется следующим образом:

1. Резанием - при вращательном бурении долотами и коронками режущего типа.

2. Дроблением - при ударном бурении клинообразными долотами и при вращательном - шарошечными долотами ʼʼчистогоʼʼ качения.

3. Скалыванием - при вращательном бурении скважины шарошечными долотами скалывающего типа.

4. Истиранием - при вращательном бурении долотами режущего и шарошечного типа при малых удельных нагрузках на долото и большого числа оборотов.

Механические свойства твердого тела - это его специфические признаки, проявляющиеся при механических процессах, обусловленные природой и внутренним строением тела.

Деформированием принято называть процесс изменения размеров или формы твердого тела под действием внешних сил.

Деформация - это относительная величина изменения размера или формы тела.

Сопротивление тела деформированию в рассматриваемой точке принято характеризовать отношением:

где - равнодействующая внутренних сил на элементарной площадке сечения,

Площадь, на которую действуют силы,

Напряжение в точке (векторная величина).

Упругой (обратимой) деформация будет в том случае, в случае если при снятии внешних сил размеры и форма тела полностью восстанавливаются. В этом случае внутренние силы совершают работу, равную работе внешних сил, обратную по знаку.

Пластической (необратимой) деформация будет в том случае, в случае если при снятии внешних сил размеры и форма тела не восстанавливаются. В этом случае, естественно, работа͵ затраченная на деформирование тела больше работы восстанавливания.

Разрушение тела наступает тогда, когда в процессе деформирования его происходит разрыв связей, обуславливающих само твердое тело.

В случае отсутствия необратимой деформации в процессе разрушения твердого тела разрушение принято называть хрупким .

Пластическое разрушение тела характеризуется значительной необратимой деформацией.

Прочностью принято называть способность твердого тела противостоять разрушению от действия внешних сил. Прочность твердых тел характеризуется величиной предельных напряжений в опасном сечении тела.

Поведение деформированного твердого тела должна быть описано методом натурных испытаний, методом испытания моделœей, расчетным методом.

Следует отметить, что точного математического описания состояния твердого тела нет, что затрудняет аналитически охарактеризовать механические свойства горных пород.

Метод натурных испытаний надежный, но трудоемкий, метод испытания моделœей осуществляется с применением теории подобия и моделирования в механике. Третий метод (расчетный) наименее трудоемкий и наименее точный.

Для различных групп тел созданы идеализированные математические модели, включающие в себя лишь наиболее существенные признаки группы.

К основным моделям относятся:

1. Упругое тело, или тело Гука (деформируется упруго до разрушения).

2. Пластическое тело, или тело Сан-Венана (до величины предельных напряжений деформируется упруго, а далее деформируется пластически при постоянной нагрузке).

3. Вязкое тело, или тело Ньютона (деформируется подобно вязкой жидкости).

В соответствии с моделями выделяют группы упругих, пластических, реологических (вязкостных) и прочностных показателœей свойств.

Рассмотренные методы не могут подменить крайне важно сть изучения сущности процессов деформирования и разрушения твердых тел (необходимы эксперименты и методы прогнозирования).

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД" 2017, 2018.

Лекция 4. Элементы механики сплошных сред

Рассмотрим движение идеальной жидкости - сплошной среды, сжимаемостью и вязкостью которой можно пренебречь. Выделим в ней некоторый объем, в нескольких точках которого определены векторы скорости движения частиц жидкости в момент времени. Если картина векторного поля со временем остается неизменной, то такое движение жидкости называется установившимся. При этом траектории частиц представляют собой непрерывные и не пересекающиеся линии. Их называют линиями тока , а объем жидкости, ограниченный линиями тока, трубкой тока (рис.4.1).

Поскольку частицы жидкости не пересекают поверхность такой трубки, ее можно рассматривать как реальную трубку с неподвижными для жидкости стенками. Выделим в трубке тока произвольные сечения и перпендикулярные направлению скорости частиц в сечениях и, соответственно (рис.4.1).

За малый промежуток времени через эти сечения протекают объемы жидкости

. (4.1)

Так жидкость несжимаема и. И тогда для любого сечения трубки тока имеет место равенство

. (4.2)

Рис.4.1

Оно называется уравнением неразрывности струи. В соответствии с (4.2) там, где сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот.

Уравнение Бернулли. Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости и давления в них постоянными, т.е. и, в сечении и, в (рис. 4.2).

При движении жидкости за малый промежуток времени сечение, переместится в положение пройдя путь, а сечение - в положение, пройдя. Объем жидкости, заключенный между сечениями и вследствие уравнения неразрывности будет

равен объем жидкости, заключенному в промежутке

Рис. 4.2 между и. Трубка имеет некоторый наклон

и центры ее сечений и находятся на высотах и над заданным

горизонтальным уровнем. Учитывая, что и, изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и, может быть представлено в виде

. (4.3)

Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления и, действующие, соответственно, на сечения и, где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока

, (4.4)

где – плотность жидкости Равенство (4.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.

Давление в потоке жидкости. Следует отметить, что в выражении (4.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: –динамическим, – гидростатическим или весовым, – статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (4.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) – величина постоянная, а скорость потока

. (4.5)

Истечение жидкости из отверстия. Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 4.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия -. Для них уравнение Бернулли имеет вид

. (4.6)

Здесь, где - атмосферное давление. Поэтому из (4.6) имеем

(4.7)

Если, то и членом можно

Рис. 4.3 пренебречь. Тогда из (4.7) получим

Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:

, (4.8)

где. Формула (4.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости. Соответствующая ему масса, где - плотность жидкости. Она имеет импульс. Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе, т.е. действует силой

По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила, т.е.

. (4.9)

Здесь - сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы придет в движение, которое называется реактивным движением.

Ламинарное и турбулентное течения. Вязкость. Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым . Если внутри жидкости происходит образование вихрей и интенсивное перемешивание слоев, то такое течение называется турбулентным.

Установившееся (стационарное) течение идеальной жидкости является ламинарным при любых скоростях. В реальных жидкостях между слоями возникают силы внутреннего трения, т.е. реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому, каждый из слоев тормозит движение соседнего слоя. Величина силы внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения слоев и градиенту скорости, т.е.

, (4.10)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей его является (Паскаль- секунда). Вязкость зависит от рода жидкости и от температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается.

Если сила внутреннего трения невелика и скорость течения мала, то движение практически является ламинарным. При больших силах внутреннего трения нарушается слоистый характер течения, начинается интенсивное перемешивание, т.е. происходит переход к турбулентности. Условия этого перехода при течении жидкости по трубам определяется величиной кр , называемой числом Рейнольдса

, (4.11)

где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость течения, - диаметр трубы. Опыты показывают, что при течение ламинарное, при оно становится турбулентным. Для труб круглого сечения радиуса число Рейнольдса. Влияние вязкости приводит к тому, что при скорость течения по трубе круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется формулой Пуазейля

, (4.12)

где - радиус трубы, ()- разность давлений на концах трубы, - ее длина.

Влияние вязкости обнаруживается и при взаимодействии потока с неподвижным телом. Обычно, в соответствии с механическим принципом относительности, рассматривается обратная задача, Например, Стоксом установлено, что при на шар, движущийся в жидкости, действует сила трения

, (4.13)

где r - радиус шарика, - скорость его движения. Формула Стокса (4.13) в лабораторном практикуме применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей.

Колебания и волны

Колебательным движением, или просто колебанием, называется движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятника и т.д. Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим для них закономерностям. Наипростейшее из них- гармоническое колебательное движение. Колебательное движение называется гармоническим, если изменение физической величины х (смещения) происходит по закону косинуса (или синуса)

, (4.14)

где величина А – равная максимальному смещению х системы из положения равновесия, называется амплитудой колебания, (, определяет величину смещения х в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (фаза колебания равна. Поэтому величина называется начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах,- циклическая частота, равная числу полных колебаний, происходящих за время с.

Период - это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой следующим соотношением

. (4.15)

Очевидно, линейная частота (число колебаний в единицу времени) связана с периодом Т следующим образом

(4.16)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10 3 Гц называется килогерцем (кГц), в 10 6 Гц, мегагерцем (МГц).

Колебательное движение характеризуется не только смещением х, но также скоростью и ускорением а. Их значения могут быть определены из выражения (4.14).

Продифференцировав (4.14) по времени, получим формулу скорости

. (4.17)

Как видно из (4.17), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна. Из сравнения (4.14) и (4.17) следует, что скорость опережает смещение по фазе на.

Продифференцировав (4.14) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения

. (4.18)

Как следует из (4.14) и (4.18), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

Уравнение плоской бегущей волны

Уравнением волны называется выражение, описывающее зав и симость смещения колеблющейся частицы от координат и времени:

. (4.20)

Пусть точки, расположенные в плоскости, совершают колебания по закону. Колебания частиц среды в точке (рис.4.4), расположенной на рассто я нии от источника колебаний, будут происходить по тому же з а кону, но, будут отставать по времени от колебаний источн и ка на (где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид: (4.20)

Рис.4.4

Так как точка была выбрана произвольно, то уравнение (5.7) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей во л ны. В общем случае оно имеет вид: (4.21) где – амплитуда волны ; – фаза плоской волны ; – циклическая частота волны ; – начальная фаза колеб а ний .

Подставляя в уравнение (4.21) выражения для скорости () и циклической частоты (), п о лучим:

(4.22)

Если ввести волновое число, то уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (4.23)

Скорость в этих уравнениях представляет собой ск о рость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью . Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна . Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по врем е ни. Получим:

Откуда.

Стоячая волна. Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то выполняется принцип суперпозиции (наложения ): к а ждая волна ведет себя так, как будто другие волны отсутствуют, а результиру ю щее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают част и цы, участвуя в каждом из слагающих волновых проце с сов.

Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн

И, (4.24)

с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси. Сложив эти уравнения, п о лучим уравнение результирующей волны, называемой стоячей во л н . (4.25)

Таблица 4.1

В бегущей волне	В стоячей волне
Амплитуда колебаний
Все точки среды колеблются с одинаков ыми ампл и туд ами	Все точки среды колеблются с разными а м плитудами
Фаза колебаний
Фаза колебаний зависит от координаты рассматр и ваемой точки	Все точки между двумя узлами колеблются в одинаков ой фаз е . При переходе через узел фаза кол е баний изменяется на.
Перенос энергии
Энергия колебательного движения переносится в направлении распр о странения волны.	Переноса энергии нет, лишь в пределах происходят взаимные превращения энергии.

В точках среды, где ампл и туда волны обращается в ноль (). Эти точки называются узлами () стоячей волны. Координаты узлов.

Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя с о седними пучностями), называемое длиной стоячей волны, равно половине длины бегущ ей волн ы . Таким образом, при сложении двух бегущих волн образуется стоячая волна, узлы и пучности которой находятся все время в одних и тех же местах.

Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.

Осн. 1 , 5 . 6

Доп. 18 , 22 [ 25-44]

Контрольные вопросы:

Осн. 1 , 8 .

Контрольные вопросы:

1. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?

2. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?

3.Как соотносятся фазы колебания ускорения и смещения при гармонических колебаниях.

План

1. Понятие сплошной среды. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жидкость. Уравнение Бернулли. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей. Формула Стокса. Формула Пуазейля.

2. Упругие напряжения. Энергия упруго деформированного тела.

Тезисы

1. Объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. В жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. В механике с большой степенью точно­сти жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плот­ность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжи­маемостью жидкости и газа во многих за­дачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Идеаль­ная жидкость - физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения. Идеаль­ная жидкость - воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения. Ей противоречит вязкая жидкость. Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со сторо­ны жидкости на единицу площади, назы­вается давлением р жидкости . Единица давления - паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому си­лой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м 2 (1 Па=1 Н/м 2). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жид­кости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жид­костью.

Давление изменяется линейно с высо­той. Давление Р=rgh называется гидростати­ческим. Сила давле­ния на нижние слои жидкости боль­ше, чем на верхние, поэтому на тело, по­груженное в жидкость, действует выталки­вающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жид­кость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкива­ющая сила, равная весу вытесненной те­лом жидкости (газа) , где r - плотность жидкости, V - объем погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течени­ем, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком. Графически движе­ние жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направ­лению с вектором скорости жидкости в со­ответствующих точках пространства (рис. 45). По картине линий тока можно су­дить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линия­ми тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и распо­ложение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S 1 и S 2 , перпенди­кулярные направлению скорости (рис. 46). Ес­ли жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S 2 пройдет за 1 с такой же объем жидкости, как и через сечение S 1 , т. е. Произведение скоро­сти течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть ве­личина постоянная для данной трубки то­ка. Соотношение называется урав­нением неразрывности для несжимаемой жидкости. - уравне­ние Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти (здесь р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина - динамическое давление, - гидростатическое давление). Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли записывается в виде , где левая часть называется полным давлением. - форму­ла Торричелли

Вязкость - это свой­ство реальных жидкостей оказывать со­противление перемещению одной части жидкости относительно другой. При пере­мещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по ка­сательной к поверхности слоев. Сила внутреннего трения F тем боль­ше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Величина Dv/Dx показывает, как быстро меняется скорость при перехо­де от слоя к слою в направлении х, пер­пендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения равен , где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называ­ется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости - паскаль секунда (Па с) (1 Па с=1 Н с/м 2). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от темпера­туры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличи­вается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Методы определения вязкости:

1) формула Стокса ; 2) формула Пуазейля

2. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Сила, действующая на единицу пло­щади поперечного сечения, называется на­пряжением и измеряется в паскалях. Количественной мерой, характеризую­щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная дефор­мация. Относительное изменение дли­ны стержня (продольная деформация) , относительное поперечное растяжение (сжатие) , где d -- диаметр стержня. Деформации e и e" всегда имеют раз­ные знаки , где m - положительный коэффициент, за­висящий от свойств материала, называе­мый коэффициентом Пуассона.

Роберт Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное уд­линение e и напряжение s прямо про­порциональны друг другу: , где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга.

Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице . Тогда закон Гука можно записать так , где k - коэффициент упругости: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Деформации твердых тел подчиняются закону Гука только для упругих деформаций. Связь между деформацией и напряжением пред­ставляется в виде диаграммы напряже­ний (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так на­зываемого предела пропорциональности (s п). При дальнейшем увеличении напря­жения деформация еще упругая (хотя за­висимость s (e) уже не линейна) и до пре­дела упругости (s у) остаточные деформа­ции не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекра­щения действия силы, изобразится не кри­вой ВО, а параллельной ей - CF. Напря­жение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), назы­вается пределом текучести (s т) - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или об­ластью пластических деформаций). Мате­риалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для ко­торых же она практически отсутствует - хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется преде­лом прочности (s p).

ЛЕКЦИЯ № 5 Элементы механики сплошных сред Физическая модель: сплошная среда – это модель вещества, в рамках которой пренебрегают внутренним строением вещества, полагая, что вещество непрерывно распределено по всему занимаемому им объёму и целиком заполняет этот объём. Однородной называется среда, имеющая в каждой точке одинаковые свойства. Изотропной называется среда, свойства которой одинаковы по всем направлениям. Агрегатные состояния вещества Твердое тело – состояние вещества, характеризующееся фиксированным объемом и неизменностью формы. Жидкость – состояние вещества, характеризующееся фиксированным объемом, но не имеющее определенной формы. Газ – состояние вещества, при котором вещество заполняет весь предоставленный ему объем.

Механика деформируемого тела Деформация – изменение формы и размеров тела. Упругость - свойство тел сопротивляться изменению их объема и формы под воздействием нагрузок. Деформация называется упругой, если она исчезает после снятия нагрузки и – пластической, если она после снятия нагрузки не исчезает. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение - сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения - сжатия и сдвига.

Деформация растяжения – сжатия Растяжение - сжатие - увеличение (или уменьшение) длины тела цилиндрической или призматической формы, вызываемое силой, направленной вдоль продольной его оси. Абсолютная деформация – величина, равная изменению размеров тела, вызванному внешним воздействием: , (5. 1) где l 0 и l - начальная и конечная длина тела. Закон Гука (I) (Роберт Гук, 1660 г.): сила упругости пропорциональна величине абсолютной деформации и направлена в сторону ее уменьшения: , (5. 2) где k - коэффициент упругости тела.

Относительная деформация: . (5. 3) Механическое напряжение – величина, характеризующая состояние деформированного тела =Па: , (5. 4) где F - сила, вызывающая деформацию, S - площадь сечения тела. Закон Гука (II): Механическое напряжение, возникающее в теле, пропорционально величине его относительной деформации: , (5. 5) где E - модуль Юнга – величина, характеризующая упругие свойства материала, численно равная напряжению, возникающему в теле при единичной относительной деформации, [E]=Па.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой рассмотрен для металлического бруска.

Энергия упругой деформации При растяжении – сжатии энергия упругой деформации, (5. 8) где V – объем деформируемого тела. Объемная плотность растяжении – сжатии энергии упругой деформации при (5. 9) Объемная плотность деформации сдвига энергии упругой деформации (5. 10) при

Элементы механики жидкостей и газов (гидро- и аэромеханика) Находясь в твердом агрегатном состоянии, тело одновременно обладает как упругостью формы, так и упругостью объема (или, что то же самое, при деформациях в твердом теле возникают как нормальные, так и тангенциальные механические напряжения). Жидкости и газы обладают лишь упругостью объема, но не обладают упругостью формы (они принимают форму сосуда, в котором находятся). Следствием этой общей особенности жидкостей и газов является одинаковость в качественном отношении большинства механических свойств жидкостей и газов, а их отличием являются лишь количественные характеристики (например, как правило, плотность жидкости больше плотности газа). Поэтому в рамках механики сплошных сред используется единый подход к изучению жидкостей и газов.

Исходные характеристики Плотность вещества скалярная физическая величина, характеризующая распределение массы по объему вещества и определяемая отношением массы вещества, заключённой в некотором объёме, к величине этого объёма =м/кг 3. В случае однородной среды плотность вещества рассчитывается по формуле (5. 11) В общем случае неоднородной среды масса и плотность вещества связаны соотношением (5. 12) Давление – скалярная величина, характеризующая состояние жидкости или газа и равная силе, которая действует на единичную поверхность в направлении нормали к ней [p]=Па: (5. 13)

Элементы гидростатики Особенности сил, действующих внутри покоящейся жидкости (газа) 1) Если внутри покоящейся жидкости выделить небольшой объем, то жидкость на этот объем оказывает одинаковое давление во всех направлениях. 2) Покоящаяся жидкость действует на соприкасающуюся с ней поверхность твердого тела с силой, направленной по нормали к этой поверхности.

Уравнение неразрывности Трубка тока - часть жидкости, ограниченная линиями тока. Стационарным (или установившимся) называется такое течение жидкости, при котором форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой точке движущейся жидкости со временем не изменяются. Массовый расход жидкости – масса жидкости, проходящая через поперечное сечение трубки тока в единицу времени =кг/с: , (5. 15) где и v – плотность и скорость течения жидкости в сечении S.

Уравнение неразрывности – математическое соотношение, в соответствии с которым при стационарном течении жидкости ее массовый расход в каждом сечении трубки тока один и тот же: , (5. 16)

Несжимаемой называется жидкость, плотность которой не зависит от температуры и давления. Объемный расход жидкости – объем жидкости, проходящий через поперечное сечение трубки тока в единицу времени =м 3/с: , (5. 17) Уравнение неразрывности несжимаемой однородной жидкости – математическое соотношение, в соответствии с которым при стационарном течении несжимаемой однородной жидкости ее объемный расход в каждом сечении трубки тока один и тот же: , (5. 18)

Вязкость – свойство газов и жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. Физическая модель: идеальная жидкость – воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость и теплопроводность. Уравнение Бернулли (Даниил Бернулли 1738 г.) - уравнение, являющееся следствием закона сохранения механической энергии для стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости и записанное для произвольного сечения трубки тока, находящейся в поле сил тяжести: . (5. 19)

В уравнении Бернулли (5. 19): p - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела; - динамическое давление; - гидростатическое давление.

Внутреннее трение (вязкость). Закон Ньютона (Исаак Ньютон, 1686 г.): сила внутреннего трения, приходящаяся на единицу площади движущихся слоев жидкости или газа, прямо пропорциональна градиенту скорости движения слоев: , (5. 20) где - коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость), = м 2 /с.

Виды течения вязкой жидкости Ламинарное течение - форма течение, при которой жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления). Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неупорядоченные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости или газа.

Число Рейнольдса Критерий перехода ламинарного режима течения жидкости в турбулентный режим основан на использовании числа Рейнольдса (О сборн Рéйнольдс, 1876 -1883 гг.). В случае движения жидкости по трубе число Рейнольдса определяется как, (5. 21) где v – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – диаметр трубы; и - плотность и коэффициент внутреннего трения жидкости. При значениях Re 4000 – турбулентный режим. При значениях 2000

Ламинарное течение вязкой жидкости в горизонтальной трубе Рассмотрим течение вязкой жидкости, обратившись непосредственно к опыту. При помощи резинового шланга подсоединим к водопроводному крану тонкую горизонтальную стеклянную трубку с впаянными в нее вертикальными манометрическими трубками (см. рисунок). При небольшой скорости течения хорошо видно понижение уровня воды в манометрических трубках в направлении течения (h 1>h 2>h 3). Это указывает на наличие градиента давления вдоль оси трубки – статическое давление в жидкости уменьшается по потоку.

Ламинарное течение вязкой жидкости в горизонтальной трубе При равномерном прямолинейном течении жидкости силы давления уравновешиваются силами вязкости.

Распределение скоростей в поперечном сечении потока вязкой жидкости можно наблюдать при ее вытекании из вертикальной трубки через узкое отверстие (см. рисунок). Если, например, при закрытом кране К налить вначале неподкрашенный глицерин, а затем сверху осторожно добавить подкрашенный, то в состоянии равновесия граница раздела Г будет горизонтальной. Если кран К открыть, то граница примет форму, похожую на параболоид вращения. Это указывает на существование распределения скоростей в сечении трубки при вязком течении глицерина.

Формула Пуазейля Распределение скоростей в сечении горизонтальной трубы при ламинарном течении вязкой жидкости определяется формулой, (5. 23) где R и l радиус и длина трубы, соответственно, p – разность давлений на концах трубы, r – расстояние от оси трубы. Объемный расход жидкости определяется формулой Пуазейля (Жан Пуазейль, 1840 г.): (5. 24)

Движение тел в вязкой среде При движении тел в жидкости или газе на тело действует сила внутреннего трения, зависящая от скорости движения тела. При малых скоростях наблюдается ламинарное обтекание тела жидкостью или газа и сила внутреннего трения оказывается пропорциональной скорости движения тела и определяется формулой Стокса (Джордж Стокс, 1851 г.): , (5. 25) где b – постоянная, зависящая от формы тела и его ориентации относительно потока, l – характерный размер тела. Для шара (b=6 , l=R) сила внутреннего трения: , (5. 26) где R – радиус шара.

Под действием приложенных сил тела изменяют свою форму и объем, т. е. деформируются.

Для твердых тел различают деформации: упругие и пластические.

Упругими называют деформации, которые исчезают после прекращения действия сил, а тела восстанавливают свою форму и объем.

Пластическими называют деформации, которые сохраняются после прекращения действия сил, а тела не восстанавливают свою первоначальную форму и объем.

Пластическая деформация возникает при холодной обработке металлов: штамповке, ковке и т. д.

Деформация будет упругой или пластической зависит не только от свойств материала тела, но и от величины приложенных сил.

Тела, которые под действием любых сил испытывают только упругие деформации, называют идеально упругими.

Для таких тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими упругими деформациями.

Мы ограничимся упругими деформациями, которые подчиняются закону Гука .

Все твердые тела можно разделить на изотропные и анизотропные.

Изотропными называют тела, физические свойства которых по всем направлениям одинаковы.

Анизотропными называют тела, физические свойства которых различны по разным направлениям.

Приведенные определения являются относительными, так как реальные тела могут вести себя как изотропные по отношению к одним свойствам и как анизотропные – к другим.

Например, кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные, если в них распространяется свет, но они анизотропны, если рассматривать их упругие свойства.

В дальнейшем ограничимся исследованием изотропных тел.

Наиболее широкое распространение в природе имеют металлы с поликристаллической структурой.

Такие металлы состоят из множества мельчайших произвольно ориентированных кристаллов.

В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристаллов может нарушиться.

После прекращения действия сил, вещество будет анизотропным, что наблюдается, например, при вытягивании и кручении проволоки.

Силу, отнесенную к единице площади поверхности, на которую они действуют, называют механическим напряжением  n .

Если напряжение не превосходит предела упругости, то деформация будет упругой.

Предельные напряжения, приложенные к телу, после действия, которых оно еще сохраняет свои упругие свойства, называют пределом упругости.

Различают напряжения сжатия, растяжения, изгиба, кручения и т. д.

Если под действием сил, приложенных к телу (стержню), оно растягивается, то возникающие напряжения называют натяжением

Если стержень сжать, то возникающие напряжения называют давлением:

. (7.2)

Следовательно,

Т =  Р. (7.3)

Если – длина недеформированного стержня, то после приложения силы он получает удлинение
.

Тогда длина стержня

. (7.4)

Отношение
к, называют относительным удлинением, т. е.

. (7.5)

На основании опытов, Гуком установлен закон: в пределах упругости напряжение (давление) пропорционально относительному удлинению (сжатию), т. е.

(7.6)

, (7.7)

где Е – модуль Юнга.

Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы для любого твердого тела, но до определенного предела.

На рис. 7.1 приведен график зависимости удлинения от величины приложенной силы.

До точки А (предел упругости) после прекращения действия силы длина стержня возвращается к первоначальной (область упругой деформации).

За пределами упругости деформация становится частично или полностью необратимой (пластические деформации). Для большинства твердых тел линейность сохраняется почти до предела упругости. Если тело продолжать растягивать, то оно разрушится.

Максимальную силу, которую нужно приложить к телу, не разрушая его, называют пределом прочности (т. Б, рис. 7.1).

Рассмотрим произвольную сплошную среду. Пусть она разделена на части 1 и 2 вдоль поверхности А–а–Б–б (рис. 7.2).

Если тело деформировано, тогда его части взаимодействуют между собой по поверхности раздела, вдоль которой они граничат.

Для определения возникающих напряжений кроме сил, действующих в сечении А–а–Б–б, нужно знать, как эти силы распределены по сечению.

Обозначим через dF силу, с которой тело 2 действует на тело 1 на бесконечно малой площадке dS. Тогда напряжение в соответствующей точке на границе сечения тела 1

, (7.8)

где – единичный вектор нормали к площадке dS.

Напряжение  - n в той же точке на границе сечения тела 2, такое же по величине, по противоположное по направлению, т. е.

. (7.9)

Для определения механического напряжения в среде, на противоположно ориентированной площадке, в какой-либо ее точке, достаточно задать напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках: S x , S y , S–, проходящих через эту точку, например, точка 0 (рис. 7.3).

Это положение справедливо для покоящейся среды или движущейся с произвольным ускорением.

В этом случае

, (7.10)

где
(8.11)

S – площадь грани АВС; n – внешняя нормаль к ней.

Следовательно, напряжение в каждой точке упруго деформированного тела можно характеризовать тремя векторами
или девятью их проекциями на оси координат Х, У,Z:

(7.12)

которые называют тензором упругих напряжений.